有沒有RE-hard的遞歸可枚舉問題？

Question

我正在采用的可計算性類解釋了RE-REC中的幾種語言（遞歸可枚舉但不遞歸，即可由非停頓圖靈機解決）。 它首先顯示了其中一個（L_d，不接受自己編碼的圖靈機的語言）不在RE中，並證明其補碼在RE-REC中。 然后它證明它可以簡化為通用語言（L_u，圖靈機的所有二進制編碼的集合與它接受的字符串連接）。 然后繼續顯示L_u是如何RE-Hard，然后將其減少到L_PCP（Post的對應問題），然后將其減少為Context Free Grammar Ambiguity。 RE中是否存在任何問題，但RE-Hard是否存在問題？ 因為到目前為止，對於我們的教授在RE-REC中解釋的每一個問題，他已經證明它們可以相互減少。

Answer 1

你提到的問題（與Peter Leupold的澄清，應該整合在問題中）被稱為Post問題。 答案是肯定的：特別是，所有所謂的“簡單”集合都是不完整的RE集合。

一個簡單的集合是一個RE集合，其互補性是“免疫的”。 免疫集是一個不包含任何無限RE集的集合。 這足以證明一個簡單的集合不能完整，因為完整集合的互補是富有成效的，並且任何生產集合都包含由其自己的生產函數生成的無限RE子集。

一些簡單的集合是已知的。 我最喜歡的例子是根據Kolmogorov復雜度的非隨機數集合，即所有數字的集合，可以更緊湊地表示為生成它的程序的索引（在輸入0上）。 證明這樣的集合很簡單並不難，可以在任何關於可計算性的好文本中找到。

Answer 2

你的問題的答案是肯定的，因為即使是有限的語言也是RE。 但從某種意義上講，它們並不難。

也許你的問題確實是“是否存在任何遞歸可疑的問題，這些問題不是很難但不是遞歸的？” 答案取決於你減少的概念。 可能你的教授正在使用多次減少; 然后答案可能是，是（我不完全確定）。 對於較弱的減少，答案是否定的。