計算算法的時間復雜度

Question

因此，這里有一種算法應該返回具有任意給定x的給定多項式的P（x）的多項式值。

A []是系數數組，P []是x數組的冪。

（例如x ^ 2 + 2 * x + 1將具有：A [] = {1,2,1}，P [] = {2,1,0}）

另外，recPower（）= O（logn）

int polynomial(int x, int A[], int P[], int l, int r)
{
    if (r - l == 1)
        return ( A[l] * recPower(x, P[l]) ) + ( A[r] * recPower (x, P[r]) );
    int m = (l + r) / 2;
    return polynomial(x, A, P, l, m) + polynomial(x, A, P, m, r);
}

如何計算時間復雜度？ 由於if語句，我感到困惑。 我不知道遞歸關系是什么。

Answer 1

進行觀察可能會有所幫助：一旦我們使r = l + 1 ，我們就花費O（logn）時間並完成。

我的答案需要對遞歸樹有很好的理解。 因此，明智地進行。

因此，我們的目標是發現： 經過多少次迭代，我們就能知道我們有r = l + 1？

讓我們找出：

專注於return polynomial(x, A, P, l, m) + polynomial(x, A, P, m, r);

讓我們首先考慮左函數polynomial(x, A, P, l, m) 。 要注意的關鍵是l在所有后續遞歸調用的左函數中保持不變。

左函數是polynomial(x, A, P, l, m) ，右函數是

polynomial(x, A, P, m, r)

對於左函數polynomial(x, A, P, l, m) ，我們有：

第一次迭代

l = l and r = (l + r)/2

第二次迭代

l = l and r = (l + (l + r)/2)/2

意思就是

r = (2l + l + r)/2

第三次迭代

l = l and r = (l + (l + (l + r)/2)/2)/2

意思就是

r = (4l + 2l + l + r)/4

第四次迭代

l = l and r = (l + (l + (l + (l + r)/2)/2)/2)/2

意思就是

r = (8l + 4l + 2l + l + r)/8

這意味着在第n次迭代中，我們有：

r = (l(1 + 2 + 4 + 8 +......2^n-1) + r)/2^n 

終止條件為r = l + 1

求解(l(1 + 2 + 4 + 8 +......2^n-1) + r)/2^n = l + 1 ，我們得到

2^n = r - l

這意味着n = log(r - l) 。 可能會說在所有后續的左函數調用中，我們忽略了另一個調用，即右函數調用。 原因是這樣的：

因為在正確的函數調用中，我們取平均值，所以l = m ，其中m已經被減小，而r = r ，它甚至更平均，這漸近不會對時間復雜度產生任何影響。

因此，我們的遞歸樹將具有最大深度= log（r-l） 。 的確，並非所有級別都將完全填充，但為簡單起見，我們在漸近分析中假設這一點。 因此，在達到log(r - l)的深度之后，我們調用函數recPower ，這需要O（logn）時間。 深度log(r - l) ）處的總節點（ 假設以上所有級別均已滿 ）為2^(log(r - l) - 1) 。 對於單個節點，我們花費O（logn）時間。

因此，總時間= O（logn *（2 ^（log（r-l）-1））） 。

Answer 2

這可能會有所幫助：

T(#terms) = 2T(#terms/2) + a
T(2) = 2logn + b

其中a和b為常數，＃項指多項式中的項數。 可以使用Master定理或使用遞歸樹方法來解決此遞歸關系。