计算算法的时间复杂度

Question

因此，这里有一种算法应该返回具有任意给定x的给定多项式的P（x）的多项式值。

A []是系数数组，P []是x数组的幂。

（例如x ^ 2 + 2 * x + 1将具有：A [] = {1,2,1}，P [] = {2,1,0}）

另外，recPower（）= O（logn）

int polynomial(int x, int A[], int P[], int l, int r)
{
    if (r - l == 1)
        return ( A[l] * recPower(x, P[l]) ) + ( A[r] * recPower (x, P[r]) );
    int m = (l + r) / 2;
    return polynomial(x, A, P, l, m) + polynomial(x, A, P, m, r);
}

如何计算时间复杂度？ 由于if语句，我感到困惑。 我不知道递归关系是什么。

Answer 1

进行观察可能会有所帮助：一旦我们使r = l + 1 ，我们就花费O（logn）时间并完成。

我的答案需要对递归树有很好的理解。 因此，明智地进行。

因此，我们的目标是发现： 经过多少次迭代，我们就能知道我们有r = l + 1？

让我们找出：

专注于return polynomial(x, A, P, l, m) + polynomial(x, A, P, m, r);

让我们首先考虑左函数polynomial(x, A, P, l, m) 。 要注意的关键是l在所有后续递归调用的左函数中保持不变。

左函数是polynomial(x, A, P, l, m) ，右函数是

polynomial(x, A, P, m, r)

对于左函数polynomial(x, A, P, l, m) ，我们有：

第一次迭代

l = l and r = (l + r)/2

第二次迭代

l = l and r = (l + (l + r)/2)/2

意思就是

r = (2l + l + r)/2

第三次迭代

l = l and r = (l + (l + (l + r)/2)/2)/2

意思就是

r = (4l + 2l + l + r)/4

第四次迭代

l = l and r = (l + (l + (l + (l + r)/2)/2)/2)/2

意思就是

r = (8l + 4l + 2l + l + r)/8

这意味着在第n次迭代中，我们有：

r = (l(1 + 2 + 4 + 8 +......2^n-1) + r)/2^n 

终止条件为r = l + 1

求解(l(1 + 2 + 4 + 8 +......2^n-1) + r)/2^n = l + 1 ，我们得到

2^n = r - l

这意味着n = log(r - l) 。 可能会说在所有后续的左函数调用中，我们忽略了另一个调用，即右函数调用。 原因是这样的：

因为在正确的函数调用中，我们取平均值，所以l = m ，其中m已经被减小，而r = r ，它甚至更平均，这渐近不会对时间复杂度产生任何影响。

因此，我们的递归树将具有最大深度= log（r-l） 。 的确，并非所有级别都将完全填充，但为简单起见，我们在渐近分析中假设这一点。 因此，在达到log(r - l)的深度之后，我们调用函数recPower ，这需要O（logn）时间。 深度log(r - l) ）处的总节点（ 假设以上所有级别均已满 ）为2^(log(r - l) - 1) 。 对于单个节点，我们花费O（logn）时间。

因此，总时间= O（logn *（2 ^（log（r-l）-1））） 。

Answer 2

这可能会有所帮助：

T(#terms) = 2T(#terms/2) + a
T(2) = 2logn + b

其中a和b为常数，＃项指多项式中的项数。 可以使用Master定理或使用递归树方法来解决此递归关系。