Python在橢圓上找到已知點的投影點

Question

我需要執行以下過程：

關於下圖，我知道紅點的坐標。 我必須找到橢圓上紅色點的投影，從而找到橢圓上紫色的點。

我有橙色線的點和橢圓的點。

有沒有可用的算法可以做到這一點？

Answer 1

由於橢圓是關於給定線對稱的，因此您所需要做的就是計算該點在該直線上的反射率。

x1和y1是紅點的坐標， ax+by+c=0是直線的方程式。 x ， y是反射點的坐標。

由於該線穿過原點，因此c為0。

如果知道直線與x軸的夾角（θ），則可以將a和b的值計算為

我們知道y = x * tan(θ)和ax + by = 0因此

-a/b = tan(θ)

取b = 1 ， a變為-tan(θ)

參考： https : //math.stackexchange.com/questions/1013230/how-to-find-coordinates-of-reflected-point

Answer 2

您可以在紅色點處構造一個非直角頂點的直角三角形，這樣就可以計算出與投影點到橙色線的距離，該距離與紫色點的長度相同。

三角形的構建可以從在紅色點之間構造一條線（A），找到原點和橙色線之間的角度（角度B）開始。 從那里開始，A線和右頂點線之間的角度為90-（角度B）。 然后是和弦的長度。

Answer 3

設從“中心”紅色點c到另一個紅色點r的向量為u ，從中心紅色點到橙色線上其他點的向量為v 。 我們希望將u旋轉u和v之間的角度兩倍。 設θ為u與v之間的夾角。 我們可以取一個兩倍於θ的旋轉矩陣 ，並將其乘以u，以獲得從紅色“中心”點c到紫色點p的向量。 由於我們知道紅色點線和橙色線之間的角度的余弦值，因此我們不必取任何角度的正弦或余弦值或其他任何值，我們可以將其全部用矢量點表示產品等。

可以將其簡化為一個更簡單的方程式，但這是一種反映“展示您的作品”的算法：

• 找出余弦（θ）為u * v / || 你 || || v ||

• 使用雙角度和勾股定律從余弦（θ）中找到余弦（2θ）和正弦（2θ）

• 構造旋轉矩陣

• 將旋轉矩陣乘以u得到w ，從c到p的向量

• 將w的分量添加到c的坐標中以獲得p的坐標

Answer 4

假設您沒有為點和線指定方程的確切形式，我將采用以下表示法：橙色線穿過原點並沿着向量[v1,v2]穿過，因此其上的每個點都可以表示為a*[v1,v2] 。 鑒於此，以下方法應該有效：

1. 找到任何垂直於v的向量（我將其稱為n）：任何形式為n=[-(v2*n2)/v1, n2]且n2為非零的向量。

2. 畫出沿着n的紅點（不是原點）的線： [r1,r2]+b*[-(v2*n2)/v1, n2]描述了任何這樣的點。

3. 找到這些線相交的參數a和b：求解a和b的v1 = r1-b （v2 * n2）/ v1和a * v2 = r2 * b * n2 .b的結果是您需要的是：

    b= (v1*(r1*v1-r2*v1))/(n2*(v1^2 + v2^2)) 

4. 對於您選擇的任何n2，紫色點的坐標[r1,r2]+2*b*[-(v2*n2)/v1, n2] 。