DFA的二進制數等效值小數可被3整除

Question

DFA用於生成可被3、2＆5整除的二進制數，這是眾所周知的，因為我們首先讀取字符串，例如1下一個0接下來0 100是字符串，這是我們首先讀取字符串並從右到左分配基數2（二進制冪）。 ....

假設如果我們以相同的順序讀取相同的字符串，但是如果首先讀取數字，則首先以2的冪順序放置數字，如果我們讀取1，則它是第一位，而第二位是0，因此對於以上DFA，我們將其讀為001，那么我們相反地讀取了字符串....那么通過從左到右放置位來實現DFA

Answer 1

制作可計算出類似內容的DFA的通常方法是先制作NFA（因為必須使NFA相對於聯合/交叉點等易於編寫），然后將NFA轉換為DFA。

那么，如何計算二進制數是否可以被3整除呢？ 好吧，給定以b為底的數字，您可以通過將mod b-1的數字相加來輕松計算其mod b-1。 給定一個二進制數，您只需簡單地將它們成組就可以生成2 ^k個基數。 因此，對於mod 3，您需要基數4位（成對的位）。 您可以通過使用3位的組來獲得mod 7，而將mod 15與4組一起使用，則可以將mod 15輕松轉換為mod 5和mod 3。

那么，如何制作添加mod n的NFA？ 您需要一個n個狀態的循環，這些狀態對應於值0..n-1，並在它們之間進行轉換以添加位。 對於基數為3的情況，即為3個狀態

state      00 01 10 11
  0         0  1  2  0
  1         1  2  0  1
  2         2  0  1  2

這是一個NFA，因此2位轉換會經歷中間狀態，否則該狀態將不連接。 您的開始和接受狀態為0。最后一個細微之處是處理奇數位數。 如何處理取決於您的號碼是大端還是小端。 對於little-endian，您要將最后的奇數位視為一個數字，因此使邊緣中間狀態在接受狀態的0位上轉換為0。 對於大字節序，您可以添加一個附加的開始狀態，該狀態在單個0或1位上轉換為0和1。

Answer 2

我們可以使用Myhill Nerode定理直接指導我們朝該語言的最低DFA邁進。

我們首先檢查長度增加的字符串，並詢問它們是否與我們已經看到的字符串區分開。

如果字符串后面跟隨不同的字符串集以獲取目標語言中的字符串，則它們是可區分的。

空字符串e后面可以跟有L中的任何字符串，以獲得L中的字符串。將此稱為。

字符串0也可以跟在L中的任何字符串之后，以得到L中的字符串。我們也可以允許前導0並忽略它們。 如果您希望使這樣的字符串不屬於您的語言，則0不同於e。 我們將使其與眾不同。

字符串1是可區分的，因為不是L中的所有字符串都可以跟隨它並在L中產生一個字符串。的確，片刻的反思將表明L中沒有字符串可以跟隨1並導致L中的另一個字符串。將此稱為<1>。

我們不需要考慮00和01，因為0與e不可區分，因此00和01與我們已經考慮過的0和1不可區分。

字符串10與0和1有所區別，因為1和11都不能跟隨它來產生L中的字符串。將此稱為<10>

另一方面，字符串11與e和0完全沒有區別：我們可以在L中添加任何字符串以得到另一個。

我們不必考慮000、001、010、011、110或111，因為早已發現前綴是無法區分的。

也許令人驚訝的是，字符串100與字符串1不可區分：我們可以加到1以得到L中的字符串的任何東西，如果也加到100，也會導致L中的字符串。

可能令人驚訝的是，字符串101與字符串10是無法區分的：如果將10加到101，我們可以得到10以得到L中的字符串的任何結果也會導致L中的字符串。

我們命名了三類可區分的字符串：

• ：e，0、11等
• <1>：1、100等。
• <10>：10、101等。

這些占所有不超過三個長度的可區分前綴。 Myhill-Nerode保證存在最小的DFA，其中三個狀態對應於這些等價物類別。 而且，這種過渡也很容易找出：如果x = ys，則與y的類相對應的狀態會導致在符號s上與x的類相對應的狀態。

Q    s    Q'
<e>  0    <e>
<e>  1    <1>
<1>  0    <10>
<1>  1    <e>
<10> 0    <1>
<10> 1    <10>

自然，接受狀態是在L中包含字符串的狀態； 只適合這里的賬單。 在我們的例子中，初始狀態是包含e的狀態。

我們現在可以看一下，並在數學上合理化規則。 為了使討論更簡單，我們定義“三個令牌”，如下所示：

三標記是輸入的子字符串，它表示一個二進制數可以被三均勻整除的數字。

現在可以將狀態理解如下：

1. <e> ：我們已經看到了由三個任意數量的零分隔的三個令牌的序列。
2. <1> ：我們正在查看一個不完整的三令牌，我們看到的部分是與一個模三相同的數字的二進制表示。
3. <10> ：我們正在看一個不完整的三令牌，我們看到的部分是與兩個以三為模的數字的二進制表示。

這樣的過渡才有意義：

1. <e> 0 <e> ：丟棄分隔三個令牌的0s。
2. <e> 1 <1> ：最初的新三令牌1（mod 3）
3. <1> 0 <10> ：部分三個令牌變為2（mod 3）。
4. <1> 1 <e> ：完成了三個令牌。
5. <10> 0 <1> ：部分三個令牌變為1（mod 3）。
6. <10> 1 <10> ：保留三個令牌的部分2（mod 3）。

看到三個標記的序列就像將三個的倍數乘以不同的2的乘積相乘； 這樣的總和可保證被三除。

如果我們要構建一個新的三令牌，則讀取下一個符號s將當前值v乘以2，然后將s相加； 即v' = 2v + s 。 v'可以被3整除的唯一方法是，如果v為1 (mod 3)且s為1。我們可以忽略v為0 (mod 3)且s為0的情況，因為在這種情況下，我們處於<e>並在三個標記之間讀取0 s。