如果我不導入經典邏輯，你能證明 Coq 中的 Excluded Middle 是錯誤的嗎？

Question

我知道在構造邏輯中排中線是不可能的。 但是，當我嘗試在 Coq 中顯示它時，我被卡住了。

Theorem em: forall P : Prop, ~P \/ P -> False.

我的做法是：

intros P H.
unfold not in H.
intuition.

系統提示如下：

2 subgoals
P : Prop
H0 : P -> False
______________________________________(1/2)
False
______________________________________(2/2)
False

我應該如何進行？ 謝謝

Answer 1

你想要構建的不是對LEM的否定，LEM會說“存在某些P使得EM不能保持”，但是聲稱沒有命題是可判定的，這當然會導致一個微不足道的不一致：

Axiom not_lem : forall (P : Prop), ~ (P \/ ~ P).

Goal False.
now apply (not_lem True); left.

不需要使用花哨的雙重否定引理; 因為這顯然不一致[想象它會持有！]

LEM的“經典”否定確實是：

Axiom not_lem : exists (P : Prop), ~ (P \/ ~ P).

並且它不可證明[否則EM不可接受]，但你可以安全地假設它; 但是對你來說它不會有多大用處。

Answer 2

人們不能反駁Coq中排除中間（LEM）的定律。 讓我們假設你證明了你對LEM的反駁。 我們通過將其假設為公理來模擬這種情況：

Axiom not_lem : forall (P : Prop), ~ (P \/ ~ P).

但是，我們還有一個較弱的LEM版本（雙重否定）：

Lemma not_not_lem (P : Prop) :
  ~ ~ (P \/ ~ P).
Proof.
  intros nlem. apply nlem.
  right. intros p. apply nlem.
  left. exact p.
Qed.

這兩個事實將使Coq的邏輯不一致：

Lemma Coq_would_be_inconsistent :
  False.
Proof.
  apply (not_not_lem True).
  apply not_lem.
Qed.

Answer 3

我來自 mathoverflow，但我無權評論 @Anton Trunov 的回答。 我認為他的回答是不公正的，或者至少是不完整的：他隱藏了以下“民間傳說”：

Coq + Impredicative Set + Weak Excluded-middle -> False

這個民間傳說是以下事實的變體：

證明無關+大消除->假

而 Coq + Impredicative Set 是規范的，穩健的，強歸一化的，所以是一致的。

Coq + Impredicative Set 是 Coq 的舊版本。 我認為這至少表明基於雙重否定翻譯的 LEM 辯護沒有那么令人信服。

如果您想獲取有關解決方案的信息，可以從這里獲取https://github.com/FStarLang/FStar/issues/360

另一方面，你可能對 Coq-HoTT+UA 如何對抗 LEM∞ 的故事感興趣......

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好的，讓我們有一些解決方案。

或者你可以使用標准的 coq + coq-hott。

不建議你在沒有掌握具體概念的情況下直接點擊有問題的代碼。

我跳過了很多關於元理論實現的內容，例如 Univalence 在 Coq-HoTT 中不可計算，而只能在 Agda-CuTT 中計算，例如 Coq+Impredicative Set/Coq-HoTT 的一致性證明。

然而，元理論的考慮很重要。 如果我們只是想得到一個 Anti-LEM 模型而不關心元理論，那么我們可以在 coq 中使用“Boolean-valued forcing”來破壞只有 LEM 才能引入的東西，比如各種奇怪的實集，Dedekind無限的...

但這個答案到此為止。