如何在不使用直覺的情況下證明皮爾士，經典，排除_中間，de_morgan_not_and_not和implies_to_or的等價性

Question

我簡化了peirce，classic，excluded_middle，de_morgan_not_and_not和implies_to_or相互等價的證明程序，主要寫在git@github.com:B-Rich/sf.git ，如下所示。

Theorem excluded_middle_irrefutable:  forall (P:Prop), ~ ~ (P \/ ~ P).
Proof.
  intros. unfold not. intros.
  apply H. right. intros. apply H. left. apply H0.
Qed.

Definition peirce                := forall P Q: Prop, ((P->Q)->P)->P.
Definition classic               := forall P :  Prop, ~~P -> P.
Definition excluded_middle       := forall P :  Prop, P \/ ~P.
Definition de_morgan_not_and_not := forall P Q: Prop, ~(~P /\ ~Q) -> P\/Q.
Definition implies_to_or         := forall P Q: Prop, (P->Q) -> (~P\/Q).

Theorem peirce_classic : peirce -> classic.
Proof.
  compute. intros.
  specialize (H P False).
  apply H. intros.
  apply H. contradiction H0.
Qed.

Theorem classic_excluded_middle : classic -> excluded_middle.
Proof.
  compute. intros.
  apply H. intros.
  apply H0.
  right.
  intros.
  assert (P \/ (P->False)) as H2.
    apply (or_introl H1).
  apply (H0 H2).
Qed.

Theorem false_dist_1 : forall {P Q : Prop}, (P \/ Q -> False) -> (P -> False) /\ (Q -> False).
Proof.
  intros.
  split.
  intros.
  apply (H (or_introl H0)).
  intros.
  apply (H (or_intror H0)).
Qed.

Theorem false_dist_2 : forall {P Q : Prop}, (P -> False) /\ (Q -> False) -> (P \/ Q -> False).
Proof.
  intros.
  inversion H.
  inversion H0.
  apply (H1 H3).
  apply (H2 H3).
Qed.

Theorem em_de_morgan : excluded_middle -> de_morgan_not_and_not.
Proof.
  compute. intros.
  specialize (H (P \/ Q)).
  inversion H.
  apply H1.
  apply (False_ind (P \/ Q) (H0 (false_dist_1 H1))).
Qed.

Theorem double_neg : forall P : Prop,
  P -> ((P->False)->False).
Proof.
  (* WORKED IN CLASS *)
  intros P H. intros G. apply G. apply H.  Qed.

Theorem de_morgan_to_or : de_morgan_not_and_not -> implies_to_or.
Proof.
  compute. intros.
  specialize (H (P -> False) Q).
  intuition.
Qed.

Theorem to_or_peirce: implies_to_or -> peirce.
Proof.
  compute. intros.
  specialize (H P P).
  intuition.
Qed.

我成功地刪除了一些intuition策略，最后兩個除外。

我的問題是：

• 如何在不使用intuition策略的情況下證明to_or_peirce和de_morgan_to_or？
• intuition策略是做什么的？
• 有沒有辦法提取intuition戰術可能產生的具體程序？

Answer 1

（首先，我知道這是Benjamin C. Pierce的Software Foundations的一部分 。這些都是用於大學課程的，所以我不會為您提供這些練習的解決方案，並且會破壞其他所有人的樂趣。很抱歉，但您希望自己能像我一樣（我也一樣），但我希望您能理解–我不想“獎勵”他們將這些資料公開發布的努力，而為此付出了額外的工作來提出新的練習。）

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有沒有辦法提取intuition戰術可能產生的具體程序？

好吧，對於任何已定義的內容，您都可以執行“ Print thing. 得到定義。 對於已經手動定義的內容，通常看起來很像您編寫的內容。 對於戰術產生的事物，這可能是非常不可讀的（甚至包含不必要的冗長的間接指令）。通過實踐，您最終將能夠大部分閱讀和重構（以更易讀的方式）這些證明。

可能有用或可能無效的是說info <tactic> ，它應該輸出應用策略的列表/樹–但它似乎已經被破壞了（到現在為止已經好幾年了……），在Coq的新版本中，可能會有專門的策略，例如info_trivial ， info_auto或info_eauto 可能會對您有所幫助。

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直覺策略是做什么的？

intuition的文檔相當神秘，但是包含有用的代碼片段

[…]實際上， tauto只是intuition fail 。

[...]

變種：

1. intuition
   等效於intuition auto with * 。

（最后一部分意味着您可以嘗試intuition info_auto ，看看是否能給您任何有用的信息。不幸的是，它只會打印一長串(* info auto : *) idtac.因為這些定理都是重言式，而auto沒有什么都不要做。）

因此，轉到tauto的文檔 ：

該策略基於Roy Dyckhoff [ 54 ]的無緊縮后續演算LJT *來實現直覺命題演算的決策程序。 請注意，在直覺重言式命題的任何情況下， tauto成功。 tauto展開否定和邏輯等價關系，但不展開任何其他定義。

現在應該很清楚了，對吧？ 對？ ;-)

（到那時，您可以嘗試查看tauto的定義 ，但這還不夠清楚。）

將各個部分放在一起並給出示例：

如文檔所述， tauto （以及intuition ）“為直覺命題演算實現了決策過程”。 也就是說，凡是僅在連詞（ /\\ ），析取詞（ \\/ ），（bi）蘊涵（ <-> / -> ）和某些否定情況（ ~ ）結合在一起的情況下，都可以通過此方法解決。

Variables A B C D : Prop.
Lemma foo : (A /\ B) -> A.  tauto.  Qed.            (* solves *)
Lemma bar : (A /\ B) -> A.  auto. (* fails *) auto 9999 with *. (* fails *)
Lemma baz : ((B /\ C) /\ D) -> ((A /\ C) -> (D /\ B /\ (A /\ A))).
            tauto.  Qed.  (* solves *)
Lemma qux : (A \/ B) /\ (C \/ (A -> B)) /\ ~B -> C.  tauto.  Qed. (* solves *)
(* etc. *)

對於所有這些， auto只會做什么，而tauto （“重言式”）會立即解決它們。 當完成了tauto的基本組合和tauto但還不能解決所有問題時， intuition只會嘗試做更多的事情。

（有幫助嗎？）

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如何在不使用intuition策略的情況下證明to_or_peirce和de_morgan_to_or ？

提示：您的H的格式為… -> (… \\/ …) ，您可以對它進行destruct或case分析，就像使用析取法一樣（但在這種“符號之海”中，可能很難看到這個有可能）。 其余的應該很容易。