Coq：當只有一個案例時，在Prop for Set上執行反轉

Question

假設我有一些編程語言，具有“有類型”關系和“小步”關系。

Inductive type : Set :=
| Nat : type
| Bool : type.

Inductive tm : Set :=
| num : nat -> tm
| plus : tm -> tm -> tm
| lt : tm -> tm -> tm
| ifthen : tm -> tm -> tm -> tm.

Inductive hasType : tm -> type -> Prop :=
| hasTypeNum :
    forall n, hasType (num n) Nat
| hasTypePlus:
    forall tm1 tm2,
      hasType tm1 Nat ->
      hasType tm2 Nat ->
      hasType (plus tm1 tm2) Nat
| hasTypeLt:
    forall tm1 tm2,
      hasType tm1 Nat ->
      hasType tm2 Nat ->
      hasType (lt tm1 tm2) Bool
| hasTypeIfThen:
    forall tm1 tm2 tm3,
      hasType tm1 Bool ->
      hasType tm2 Nat ->
      hasType tm3 Nat ->
      hasType (ifthen tm1 tm2 tm3) Nat.

Inductive SmallStep : tm -> tm -> Prop :=
  ...

Definition is_value (t : tm) := ...

這里的關鍵細節是，對於每個術語變體，只有一種可能匹配的HasType變體。

假設我想證明一個進度引理，但我也希望能夠從中提取一個解釋器。

Lemma progress_interp: 
  forall tm t, 
  hasType tm t -> 
  (is_value tm = false) -> 
  {tm2 | SmallStep tm tm2}.
intro; induction tm0; intros; inversion H.

這給出了錯誤Inversion would require case analysis on sort Set which is not allowed for inductive definition hasType.

我理解它為什么這樣做： inversion在排序的值進行案例分析Prop ，這因為它在提取的代碼被擦除，我們不能這樣做。

但是，因為術語變體和類型派生規則之間存在一對一的對應關系，所以我們實際上不必在運行時執行任何分析。

理想情況下，我可以應用一堆看起來像這樣的lemmas：

plusInv: forall e t, hasType e t ->
  (forall e1 e2, e = plus e1 e2 -> hasType e1 Nat /\ hasType e2 Nat ).

對於每種情況都會有這樣的引理（或者是這些情況的結合的單個引理）。

我看過Derive Inversion但它似乎沒有做我在這里尋找的東西，雖然也許我不能正確理解它。

有沒有辦法做這種“只有一個案例的案例分析？” 或者為了獲得Prop證明所隱含的平等，以便我只能在我提取的解釋器中寫出可能的案例？ 使用Ltac或Deriving機制可以自動導出這些引理嗎？

Answer 1

引理plus_inv可以通過類型tm的案例分析而不是類型hasType的案例分析來hasType 。

Lemma plus_inv : forall e t, hasType e t ->
  (forall e1 e2, e = plus e1 e2 -> hasType e1 Nat /\ hasType e2 Nat ).
Proof.
intros e; case e; try (intros; discriminate).
intros e1 e2 t h; inversion h; intros e5 e6 heq; inversion heq; subst; auto.
Qed.

您的主要目標progress_interp的證明也可以通過感應tm的結構來執行。 這相當於直接將解釋器編寫為gallina遞歸函數。

您的問題有第二部分：這可以自動化嗎？ 可能答案是肯定的。 我建議使用template-coq軟件包或elpi軟件包。 這兩個包都可以作為opam包使用。

Answer 2

我認為eexists會做的伎倆：存在變量應該在sigma類型的證明期間的某個時刻填充（你可以在hasType假設上自由地使用inversion ）。