在N-sphere上生成均勻分布的隨機點的算法

Question

我還沒有在 Python 上找到這種算法的實現

像這樣的東西：

有兩個輸入參數：

• n - 空間維度。
• m - n-1 球體上的點數。

我需要將它們大致均勻地排列在 n 球體的表面上。

坐標軸位於 n-1 球體的中心。 例如在常規球體上的 3d 中，可以像這樣定位點

在我看來，斐波那契算法在視覺上非常好。 我不知道 n-sphere 是否有類似的東西。 我有 512D 空間，我將在其中放置 1000 甚至 10,000 個點。

如何在python中做到這一點？

Answer 1

有簡單的Muller 和 Marsaglia方法可以在超球面生成均勻分布。

生成具有高斯分布的 n 個變量（在此處列出l ）。 它們形成一些向量。

查找該向量的長度並將其組件歸一化以提供單位長度結果

示例顯示在 10d 空間中在球體上生成一個點，並在視覺上檢查圓上點包的均勻性（2d 中的球體，柱狀圖值應該接近）

import random, math

#muller-marsaglia method
def spherepicking(n):
    while True:           #to get rid off [0,0,0,0] case
        l = [random.gauss(0, 1) for i in range(n)]
        sumsq = sum([x * x for x in l])
        if sumsq > 0:
            break
    norm = 1.0 / math.sqrt(sumsq)
    pt = [x * norm for x in l]
    return pt

print(spherepicking(10))

cnt = [0] * 18
for i in range(10000):
   pt = spherepicking(2)
   an = math.atan2(pt[1], pt[0]) + math.pi / 2
   cnt[math.floor(an * 9 / math.pi)] += 1
print(cnt)

-0.31811419572739935, 0.2845442135156396, -0.2849019746359018,
-0.1326796017012003, 0.7388447238721524, -0.287062305232526, 
-0.08794741714783766, 0.131707880836534, 0.22059937624019868, 
-0.13047162618106062]

[554, 560, 529, 589, 534, 538, 550, 558, 578, 556, 522, 553, 561, 513, 592, 583, 593, 537]

Answer 2

使用與 MBo 相同的參數：（Muller 1959，Marsaglia 1972）-[https://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html] 我使用 numpy 在 python 中展示了我的實現：

import numpy as np

def getRandomSamplesOnNSphere(N , R , numberOfSamples):
    # Return 'numberOfSamples' samples of vectors of dimension N 
    # with an uniform distribution on the (N-1)-Sphere surface of radius R.
    # RATIONALE: https://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html
    
    X = np.random.default_rng().normal(size=(numberOfSamples , N))

    return R / np.sqrt(np.sum(X**2, 1, keepdims=True)) * X

如果您需要在N-Sphere內生成點，您可以執行此操作（參考： https : //math.stackexchange.com/q/87238 ）

import numpy as np

def getRandomSamplesInNSphere(N , R , numberOfSamples):
    # Return 'numberOfSamples' samples of vectors of dimension N 
    # with an uniform distribution inside the N-Sphere of radius R.
    # RATIONALE: https://math.stackexchange.com/q/87238
    
    randomnessGenerator = np.random.default_rng()
    
    X = randomnessGenerator.normal(size=(numberOfSamples , N))
    U = randomnessGenerator.random((numberOfSamples , 1)) 
    
    return R * U**(1/N) / np.sqrt(np.sum(X**2, 1, keepdims=True)) * X