python中擺的泰勒級數

Question

我有一個來自學校的問題，要根據泰勒級數展開來模擬鍾擺運動。

角頻率 d 2 θ dt 2 = - m GRI sin ⁡ ( θ )

我對python很陌生。 我現在知道如何使用歐拉方法進行模擬。

  for n in range(N_t):

  u[n+1] = u[n] + dt*v[n]

  v[n+1] = v[n] + dt*(m*g*r/I)*sin(u[n])

如何使用泰勒展開來模擬它？ 我應該只運行下面的代碼嗎？

f′′(x0) = 2a2

Answer 1

在方程u''=f(u)中，通過應用鏈和乘積規則並用 ODE 代回u的所有二階導數來推導該方程，您可以獲得更高階的導數。 u和u'的值取自當前狀態向量。

u''' = f'(u)u'
u^{(4)} = f''(u)*u'^2 + f'(u)*u'' 
        = f''(u)*u'^2 + f'(u)*f(u)
u^{(5)} = f'''(u)*u'^3 + 3f''(u)*u'*f(u) + f'(u)^2*u' 

還有一種使用自動/算法微分的泰勒級數算術的系統方法。

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(2022/06/29)要解決x''=-sin(x) - 通過重新調整時間來使常數因子變得微不足道 - 通過任何地方的泰勒級數，將其重新表述為系統

x'=y
y'=-v
u=cos(x)  ==> u' = -v*y
v=sin(x)  ==> v' =  u*y

最后兩個通過三角導數和鏈式法則。 比較左右系數會得到所有變量的泰勒級數系數的耦合增量公式，其中x(t0)=x0, y(t0)=y0, u(t0)=cos(x0), v(t0)=sin(x0) 。

Answer 2

我假設你的意思是你的代碼，

我還假設 u := θ 和 v := θ'。

所以，sin(x) 的泰勒展開是

你的方程現在是

因此，您可以從上述等式計算 u 和 v。 或者，我不知道你的老師是否希望你先計算積分，然后使用泰勒級數。