證明語言 L = {w ∈ {0, 1} ∗ | 輸入 x} 的 Mw(x) ↓ 部分可判定但不可判定

Question

我試圖證明語言 L = {w ∈ {0, 1} ∗ | 輸入 x} 的 Mw(x) ↓ 是部分可判定但不可判定的。 Mw 是 M 的編碼，因此語言 L 使得機器 M 的所有編碼都在某個輸入 x 上停止。

我有兩個想法：

1. 使用一些決策器 TM 將其減少到停機問題
2. 使用 Post 定理並以某種方式證明 L 的補集是不可判定的，但 L 是部分可判定的

但是，我無法確定這兩者中的哪一個實際上是正確的，以及如何用正確的符號來寫。 任何人都可以提供一些提示嗎？

Answer 1

這個答案假設 L 是在某些輸入上停止的圖靈機的所有表示的語言。

首先，這種語言必須是半可判定的，或遞歸可枚舉的，因為我們可以枚舉在某些輸入上停止的圖靈機編碼。 為此，請開始枚舉所有二進制字符串。 在每個階段，開始一個新的 TM，它開始模擬由剛剛在所有可能輸入上生成的字符串編碼的機器的執行。 繼續，以便在所有可能的輸入上模擬所有可能的 TM 編碼。 將這些機器的執行相吻合，以便每個機器在有限時間內獲得其下一個時間量，從而在有限時間內在每個可能的 TM 上模擬每個可能的輸入。 如果任何模擬停止，那么我們打印出在輸入上停止的編碼，我們可以停止模擬該編碼。 這最終必須打印出該語言中的任何編碼，因此該語言被枚舉。 這意味着我們可以回答這個問題，“這個 TM 在語言中嗎？” 對於任何提供的 TM，只要答案是肯定的（因為我們最終會遇到它）。

其次，語言不能是可判定的或遞歸的，因為這為我們提供了一種確定停機問題的清晰方法：詢問該 TM 是否在語言中，並得到一個是或否的答案，以確定它是否在某些情況下停機。輸入。 我們總是可以修改感興趣的 TM，以便它只能在任何感興趣的輸入上停止，然后如果我們有特定的輸入，則將其輸入到我們的決策器中。

第三，這些事實意味着該語言不是可共同遞歸枚舉的，因為它既可遞歸枚舉又可共同遞歸枚舉意味着它是遞歸的，但事實並非如此。