從通用語言（L_u）到非空語言圖靈機語言（L_ne）的“還原”

Question

我有一個來自理論計算機科學領域的問題。

所謂的通用語言 L_u 是由對 (M, w) 組成的，使得 w \in L(M)。 語言 L_ne 由具有非空語言的機器 M（實際上是它們的描述，但我們在這里不要太拘謹）組成。 我們都知道 L_u 和 L_ne 都是非遞歸的，但仍然是 RE（遞歸可枚舉）。 另一方面，L_u 的補碼（我們稱它為 L_nu）甚至在 RE 中也沒有，因為如果是，L_u 和 L_nu 都必須是遞歸的。

如果我們能夠將 L_nu 簡化為 L_ne，我們將證明 L_ne 也是非 RE。 這意味着這種減少應該是不可能的。 但是，我不知道為什么會這樣。

首先，為了將語言 L 簡化為 L'，我們必須構造一個可計算的 function f，它將 L 的每個可能的正實例映射到 L' 的某個正實例，並將 L 的每個可能的負實例映射到 L' 的某個負實例。 僅此而已，不是嗎？

其次，我認為我們可以有把握地假設通用圖靈機（UTM）有兩個最終狀態，一個是狀態和一個非狀態。 當然，如果 w \not\in L(M) 對於給定的輸入 (M, w)，UTM 將永遠不會到達 NO 狀態，但我們仍然可以假設如果 UTM 停止，它將在 YES 狀態或 NO 狀態下這樣做。 這也是正確的，不是嗎？

現在讓我們嘗試將 L_nu 簡化為 L_ne，如下所示：給定一對 (M, w)，構建一個機器 M'，使用 UTM 的邏輯在 w 上運行 M，如果 UTM 說是，則說否，反之亦然。 顯然，L_nu 的正實例（w \not\in L(M)）映射到 L_ne 的正實例（L(M') 在這種情況下是非空的，因為 M' 總是說是），而 L_nu 的負實例 ( w \in L(M)) 被轉換為 L_ne 的負實例（L(M') 是空的，因為 M' 總是說 NO）。 雖然機器 M' 顯然對於至少一些正輸入永遠運行（因為至少有一對 (M, w) 與 w \not\in M 使得 UTM 永遠運行），減少本身是可計算的：代碼for M' 包括 UTM 的代碼（這絕對可以完成）和一個簡單的邏輯，用於檢查內置 UTM（如果應用於 (M, w)）是否已到達 YES 狀態或 NO 狀態. 就是這樣。

因此，我剛剛“證明”了 L_ne 是非 RE。 但是，由於情況並非如此，我一定是在某個地方出錯了。 這真的讓我感到困惑，因為從 L_u 到 L_ne 的標准簡化，例如，Hopcroft-Ullman-Motwani 中給出的，采用了非常相似的推理。

如果有人能幫我解開這個謎語，我將不勝感激！

Answer 1

我已經看到這個問題四處游盪並且猶豫不決，因為它非常棘手。 我在下面有一個嘗試的解決方案，我試圖指出問題可能是什么。 請仔細閱讀 go，看看您是否遵循我的建議。 我相信問題的真正症結在於，正如我在下面詳細闡述的那樣，在 w 上運行 M 的 UTM 不能正確處理 M 無法在 w 上停止的情況：如果 M 無法在 w 上停止，那么 (M , w) 在 L_nu 中，但是在 w 上運行 M 的 UTM 永遠不會知道這一點。

如果我們有一個 L_ne 的決策者，我們可以決定 L_nu 嗎？

L_nu 問題的輸入是對 (M,w)。 有以下三種情況：

1. M 進入停止接受輸入 w：返回 no
2. M 對輸入 w 進入停止拒絕：返回是
3. M 從不停止輸入 w：返回是，因為從不停止意味着 M 不接受 w。

我們當然可以計算一個機器描述 M'，它使用 UTM 在 w 上運行 M 並返回相反的結果。 有以下三種情況：

1. M'進入停止接受輸入w：返回是
2. M' 對輸入 w 進入停止拒絕：返回 no
3. M' 永遠不會停止輸入 w：我們永遠不會陷入循環，所以這必須 map 為 no

如果我們有一個 L_ne 的決策者 M'' 並將 M' 輸入其中，我們會得到什么？

1. 在第一種情況下，M'' 將返回 yes，因為 M' 接受所有輸入
2. 在第二種情況下，M'' 將返回 no，因為 M' 不接受任何輸入
3. 在第三種情況下，M'' 將返回 no，因為 M' 不接受任何輸入

在第三種情況下，M'' - 我們的 L_ne 決定者 - 告訴我們不，語言 L(M'') 是空的。 但是，它沒有說明語言為什么是空的：它可能是 M' 的任何一個否定情況。 如果是因為 M' 明確輸入了停止拒絕，那么我們知道 w 在 L(M) 中，所以我們的歸約應該回答“否”。 如果是因為 M' 在 w 上永遠運行，那么我們知道 M 在 w 上沒有停止，所以我們的歸約應該回答“是”。

我們在運行 M'' 時無法區分這兩種情況，因此歸約失敗。 為什么失敗了？ 它失敗是因為 M'，即在 w 上運行 M 的 UTM，在 M 未能在 w 上停止的情況下無法准確地進入停止接受。 M' 永遠不會達到它知道處理將永遠繼續的地步。 在一般情況下，M' 需要永遠運行，在這些情況下，L(M') 將為空。