使用numpy將3d點轉換為新坐標系的功能

Question

我在空間中有n個點： points.shape == (n,3)

我有一個由點O = [ox, oy, oz]和3個不同長度的正交向量定義的新坐標系： Ox = [oxx, oxy, oxz], Oy = [oyx, oyy, oyz], Oz = [ozx, ozy, ozz] 。

我該如何編寫這樣的函數？

def change_coord_system(points, O, Ox, Oy, Oz)
    return # points in new coordinate system

Answer 1

您在原始系統中有4個非共面點（其中lx是第一個向量的長度，依此類推）：

(0,0,0), (lx,0,0), (0,ly,0), (0,0,lz)

和他們的雙胞胎在新系統中

 [ox, oy, oz]
 [oxx + ox, oxy + oy, oxz + oz]
 [oyx + ox, oyy + oy, oyz + oz]
 [ozx + ox, ozy + oy, ozz + oz]

仿射變換矩陣A應該將初始點變換為它們的對點

   A * P = P' 

用點列向量制作矩陣：

      |x1  x2  x3  x4|    |x1' x2' x3' x4'|
   A *|y1  y2  y3  y4| =  |y1' y2' y3' y4'|  
      |z1  z2  z3  z4|    |z1' z2' z3' z4'|
      |1   1   1    1|    |1   1    1    1|

      |0  lx  0  0|    |ox oxx + ox . .|
   A *|0  0  ly  0| =  |oy oxy + oy . .| // lazy to make last columns  
      |0  0  0  lz|    |oz oxz + oz . .|
      |1  1  1   1|    |1   1    1    1|

要計算A，需要將兩個sude乘以P矩陣的逆

A * P * P-1 = P' * Pinverse
A * E = P' * Pinverse
A = P' * Pinverse

因此，計算P的逆矩陣，並將其與右側矩陣相乘。

編輯：由楓計算的逆矩陣是

 [[-1/lx, -1/ly, -1/lz, 1], 
  [1/lx, 0, 0, 0], 
  [0, 1/ly, 0, 0], 
  [0, 0, 1/lz, 0]]

仿射變換矩陣為

[[-ox/lx+(oxx+ox)/lx, -ox/ly+(oyx+ox)/ly, -ox/lz+(ozx+ox)/lz, ox],
 [-oy/lx+(oxy+oy)/lx, -oy/ly+(oyy+oy)/ly, -oy/lz+(ozy+oy)/lz, oy], 
 [-oz/lx+(oxz+oz)/lx, -oz/ly+(oyz+oz)/ly, -oz/lz+(ozz+oz)/lz, oz], 
 [0, 0, 0, 1]]

楓板視圖以供參考

編輯：
剛剛注意到：Maple沒有刪除過多的求冪，所以結果應該更簡單：

[[(oxx)/lx, (oyx)/ly, (ozx)/lz, ox],
 [(oxy)/lx, (oyy)/ly, (ozy)/lz, oy], 
 [(oxz)/lx, (oyz)/ly, (ozz)/lz, oz], 
 [0, 0, 0, 1]]

Answer 2

假設我們有兩個點， P=[2, 4, 5]和Q=[7, 2, 5] 。 首先，您必須找到旋轉變換A的矩陣和運輸矩陣B並應用以下方程式

使用numpy的代碼是

import numpy as np
# points P and Q
points = np.array([[2,4,5], [7,2,5]])

# suppose that the matrices are
rotation_matrix = np.matrix('1 2 1; 1 2 1; 1 2 1')
b = np.array([1, 1, 1])

def transformation(points, rotation_matrix, b):
    for n in range(points.shape[0]):
    points[n,0] = rotation_matrix[0,0] * points[n, 0] + rotation_matrix[0,1] * points[n, 1] + rotation_matrix[0,2] * points[n, 2] + b[0]
    points[n,1] = rotation_matrix[1,0] * points[n, 0] + rotation_matrix[1,1] * points[n, 1] + rotation_matrix[1,2] * points[n, 2] + b[1]
    points[n,2] = rotation_matrix[2,0] * points[n, 0] + rotation_matrix[2,1] * points[n, 1] + rotation_matrix[2,2] * points[n, 2] + b[2]


Output:  array([[16, 30, 82],
                [17, 27, 77]])

我認為上述功能給出了新的觀點。 您可以檢查一下。 當然，您可以使用numpy執行矩陣乘法，盡管您需要重塑np.arrays。