scipy.integrate 的意外行為

Question

我想使用 scipy.integrate 進行一些數值計算。 我只是運行了一個小例子來嘗試它並遇到了一些意想不到的行為。

我做了一些干凈的代碼來演示這個問題。 我使用一個非常簡單的指數分布來測試。

這是我的代碼：

import numpy as np
import sys
import scipy as sc
from scipy import integrate


print(sys.version)
print(np.version.version)
print(sc.version.version)
print()

r1 = integrate.quad(lambda x: sc.exp(-x), 0, 10)
r2 = integrate.quad(lambda x: sc.exp(-x), 0, 100000)
r3 = integrate.quad(lambda x: sc.exp(-x), 0, np.inf)

print(r1)
print(r2)
print(r3)

print()
r4 = integrate.quad(lambda x: sc.exp(-x), 0, 10000)
print(r4)

輸出是

3.7.2 (default, Jan  2 2019, 17:07:39) [MSC v.1915 64 bit (AMD64)]
1.15.4
1.1.0

r1 (0.9999546000702375, 2.8326146575791917e-14)
r2 (2.0614532085314573e-45, 4.098798466247153e-45)
r3 (1.0000000000000002, 5.842606996763696e-11)

r4 (1.0, 1.6059202674761255e-14)

我希望所有的輸出總是大約為 1。 但是在 r2 中我得到了一個非常小的值。 奇怪的是，當積分到無窮大 (r3) 或非常小的邊界 (r1) 時，問題沒有出現。 此外，通過將限制降低一個數量級 (r4)，我也得到了完美的結果。

有誰知道為什么這個問題會出現在 scipy 中？ 我會稱這是一個錯誤，但也許我違反了一些限制？ 我如何提前知道以防止在我應用的問題中出現錯誤結果？

先感謝您

full_output 的輸出：

r2 (2.0614532085314573e-45, 4.098798466247153e-45, {'neval': 63, 'last': 2, 'iord': array([      1,       2,       3,       4,       5, 6357060, 6357108,
       4259932, 6357102, 7274595, 6553710, 3342433, 7077980, 6422633,
       7536732, 7602281, 2949221, 6357104, 7012451, 6750305, 7536741,
       7536732, 6881379, 7929968, 7274588, 7602288, 7143529, 7995497,
       6029413, 7209055, 7077998, 3014771, 7340131, 3604531, 7798829,
       7209065, 6357087, 6553709, 3407926, 7340078, 6553721, 3276846,
       5046318, 7209057, 6684777, 7536741,     116, 6619136, 7602291,
             0], dtype=int32), 'alist': array([0.00000000e+000, 5.00000000e+004, 0.00000000e+000, 0.00000000e+000,
       6.88436472e-272, 3.80218509e-136, 2.65902947e-068, 2.20016853e-034,
       1.04474528e-019, 3.09734336e-016, 9.03970673e-019, 8.23342652e-316,
       8.23342968e-316, 8.23343284e-316, 8.23343601e-316, 8.23343917e-316,
       8.23344233e-316, 8.23344549e-316, 8.23344865e-316, 8.23345182e-316,
       8.23345498e-316, 8.23345814e-316, 8.23346130e-316, 8.23346446e-316,
       8.23346763e-316, 8.23347079e-316, 8.23347395e-316, 8.23347711e-316,
       8.23348027e-316, 8.23348344e-316, 8.23348660e-316, 8.23348976e-316,
       8.23349292e-316, 8.23349608e-316, 8.23349925e-316, 8.23350241e-316,
       8.23350557e-316, 8.23350873e-316, 8.23351189e-316, 8.23351506e-316,
       8.23351822e-316, 8.23352138e-316, 8.23352454e-316, 8.23352770e-316,
       8.23353087e-316, 8.23353403e-316, 8.23353719e-316, 8.23354035e-316,
       8.23354351e-316, 8.23354668e-316]), 'blist': array([5.00000000e+004, 1.00000000e+005, 0.00000000e+000, 0.00000000e+000,
       6.88436472e-272, 3.80218509e-136, 2.65902947e-068, 2.20016853e-034,
       1.04474528e-019, 3.09734336e-016, 9.03970673e-019, 1.20736675e+285,
       1.05117823e-153, 1.05132391e-153, 1.05146958e-153, 3.79823888e-258,
       1.61465766e+184, 3.11517960e+161, 4.26137323e+257, 6.01346953e-154,
       6.01366349e-154, 1.19632546e-153, 3.64465882e-086, 1.31100174e-259,
       1.20679441e-153, 1.20679327e-153, 3.24245662e-086, 3.64465882e-086,
       6.01357764e-154, 1.20679441e-153, 5.75105581e+072, 2.20791354e+214,
       1.27734658e-152, 5.29444423e+160, 6.19633416e+223, 2.25563599e-153,
       8.21947530e+223, 6.09892510e-013, 1.06097757e-153, 2.86747940e-110,
       6.06154135e-154, 6.06445477e-154, 6.96312298e-077, 3.00226946e-067,
       6.03810921e-154, 1.30421760e-076, 1.21438942e-067, 4.61448322e-072,
       8.51221910e-053, 3.73237334e+069]), 'rlist': array([2.06145321e-045, 0.00000000e+000, 6.73898103e+149, 3.51023756e+151,
       4.50937881e-292, 9.43293441e-314, 4.65203811e+151, 6.99386802e-283,
       3.53886392e-308, 1.33360313e+241, 1.15420781e+171, 9.30281767e+242,
       1.17364463e+214, 3.12671297e+185, 2.85341794e-313, 8.18432962e-085,
       6.45840689e+170, 4.42638830e-239, 9.78681729e+199, 3.38460675e+125,
       3.11732880e+150, 9.78747303e+199, 2.27948172e-191, 1.04972250e+214,
       4.77402433e+180, 1.12985581e+277, 3.16464606e-307, 1.33360315e+241,
       1.76252970e-310, 1.02318154e-012, 1.15549302e-313, 1.03539814e-308,
       1.33360293e+241, 5.67421675e-311, 5.00120719e-162, 6.46048250e-313,
       1.68400738e-019, 1.10811151e-302, 1.66468912e-312, 1.09403545e-303,
       1.27613271e-303, 7.10020498e-270, 4.99875566e-111, 9.11927054e-304,
       9.11571045e-304, 9.11749048e-304, 9.11571042e-304, 9.60205653e+303,
       5.43239349e-312, 1.79972786e-304]), 'elist': array([4.09879847e-045, 0.00000000e+000, 6.47287707e+170, 5.98178835e-154,
       1.69375668e+190, 4.44389806e+252, 1.12297399e+219, 1.87673453e-152,
       7.20706153e+159, 1.27826731e-152, 2.43812981e-152, 5.52716101e+228,
       6.01346953e-154, 1.57761457e+214, 7.19938459e+252, 3.94357072e+180,
       3.44210870e+175, 3.62478142e+228, 1.23732543e-259, 3.53810655e+155,
       4.81222029e+233, 1.06843264e-258, 9.15000112e+199, 4.26614628e+180,
       3.53387914e+246, 2.35509149e+251, 1.69375944e+190, 1.57762309e+214,
       6.19634286e+223, 8.95533289e-106, 5.98148090e-154, 1.17914189e+195,
       5.42869734e+213, 6.72794695e+199, 5.30383390e+180, 1.02188594e-152,
       2.16452413e+233, 7.50052033e+247, 6.98907523e+096, 7.69843824e+218,
       3.23097122e+174, 9.84214185e-154, 1.36723829e+161, 1.19346501e+243,
       1.94670285e+227, 2.21366476e+214, 8.95533289e-106, 8.75378213e+247,
       1.87673453e-152, 2.50722129e-310])})

'''

Answer 1

這不是一個錯誤，它與積分的數值精度有關，以及您正在積分一個在大部分時間間隔內（幾乎）為 0 的函數這一事實。 從文檔：

請注意，與積分區間的大小相比，脈沖形狀和其他尖銳特征可能無法使用此方法正確積分。

根據您的輸出，該函數僅使用兩個（ last=2 ）間隔，評估rlist=(2.06145321e-045, 0.00000000e+000, ..)間隔的rlist=(2.06145321e-045, 0.00000000e+000, ..) （有關輸出的更多詳細信息，請參閱文檔）

您可以向間隔添加點以強制例程使用更接近左限制的點。

a = quad(lambda x: np.exp(-x), 0, 1e9, points=np.logspace(-10,3,10))
print(a)
(0.9999999999999997, 2.247900608926337e-09)

添加解釋（感謝@norok2）：請注意， points是有界積分區間中的一系列斷點，其中可能出現被積函數的局部困難（例如，奇點、不連續點）。 在這種情況下，我不是用它來指出不連續性，而是強制quad在左邊界附近執行更多的積分步驟，使用對數間隔的間隔，因為我有一個指數函數（這當然是任意的和對於這個功能，因為我知道它的形狀）。

Answer 2

無需在（非常大的）區間內將積分轉換為積分。 形式的積分有一個特定的積分方案

,

即高斯-拉蓋爾正交。 它也包含在quadpy （我的一個項目）中。 簡單地嘗試一下

import numpy
import quadpy

scheme = quadpy.e1r.gauss_laguerre(1)

val = scheme.integrate(lambda x: numpy.ones(x.shape[1:]))

print(val)

1.0