如何正確使用scipy tplquad？

Question

我正在嘗試使用scipy的tplquad做一些簡單的物理三重積分。 例如，我嘗試將單位球的恆定質量密度（func d）積分到單位立方體上。 這行不通。 但是，如果我將單位立方體的恆定質量密度（func f）積分到單位立方體上，則會很快得到結果。

我認為問題在於將常量積分限制提供為常量而不是函數。 我使用lambda修復了該問題，但仍然無法獲得積分。

from scipy import integrate

''' returns the mass density at a point (x,y,z)'''
def d(z, x, y):
  return int(x**2 + y**2 + z**2 <= 1) # unit ball with constant density = 1 , here all orthogonal axes are principal 

def f(x,y,z):
    return 1

integrate.tplquad(d, -1, 1, lambda x: -1, lambda x: 1,lambda x, y: -1, lambda x, y: 1) # doesn't work / too slow
integrate.tplquad(f, -1, 1, lambda x: -1, lambda x: 1,lambda x, y: -1, lambda x, y: 1) # works fine

我希望在給定范圍內d的積分為4/3 * pi。

Answer 1

積分不連續函數是一個困難的數值問題。

解決方法是將集成域定義為單位球：

from scipy import integrate
import numpy as np

''' returns the mass density at a point (x,y,z)'''
def d(z, x, y):
      return 1

integrate.tplquad(d, -1, 1,
                  lambda x: -np.sqrt(1-x**2), lambda x: np.sqrt(1-x**2),
                  lambda x, y: -np.sqrt(1-x**2-y**2), lambda x, y: np.sqrt(1-x**2-y**2))
# (4.188790204786397, 2.000470900043183e-09)
# 4/3*np.pi = 4.1887902047863905

另一個不理想的解決方案是人為地平滑功能。 例如，使用Logistic函數，請參閱Heaviside_step_function的解析近似值 ：

''' returns the mass density at a point (x,y,z)'''
def d(z, x, y):
    r2 = x**2 + y**2 + z**2
    smoothing_length = 0.1 # same unit as r2
    d = 1 - 1/(1 + np.exp(-2*(r2-1)/smoothing_length))
    return d

integrate.tplquad(d, -1, 1, lambda x: -1, lambda x: 1,lambda x, y: -1, lambda x, y: 1)
# (4.182852937567993, 3.021537155780628e-08)

必須謹慎選擇值smoothing_length 。

蒙特卡洛積分可能是解決更復雜問題的正確方法。

Answer 2

大多數數值積分例程（例如tplquad ）通過使用多項式逼近積分。 如果函數平滑，則效果很好。 不幸的是，特征函數除了平滑之外還具有其他所有功能，因為它們具有不連續的邊界。 這就是tplquad失敗的原因。

如果您想近似一個域的體積，一種合理的方法是為其創建三角形（2D）或四面體（3D）網格，然后添加單純形的體積。 網格生成器的一個示例是pygmsh和pygalmesh （屬於我的項目），但還有其他示例。

如果您確實想在球上集成一個功能，則可能應該看一下Quadpy （我的另一個項目）。 它具有針對各個領域的許多集成方案，其中包括球。 這個

import numpy
import quadpy

scheme = quadpy.ball.hammer_stroud_14_3()
val = scheme.integrate(
    lambda x: numpy.ones_like(x[0]),  # function to integrate
    [0.0, 0.0, 0.0],  # center
    1.0,  # radius
    )
print(val)  # 4.1887902047863905 == 4*pi/3

將使用度數5的方案將函數1積分到單位球上，並返回精確的結果。