while循環內排序的時間復雜度

Question

我正在嘗試使用以下偽代碼了解算法的時間復雜度：

讓 nums 有 ArrayList 的數字

sort(nums)
while(nums.size() > 1) {
   // remove two elements
   nums.remove(0);
   nums.remove(0);

   nums.add(some_number);
   sort(nums);
}

sort(nums)是(N)Log(N) 。 nums.remove(0)是O(N) nums.add()是O(1)

現在這個算法的時間復雜度是多少。

Answer 1

最終的復雜度是O(n² log n)因為你做了n次操作O(n log n) 。

請記住，估計復雜度（ O(...) ）與確定操作總數不同（通常時間 function T(...)由總操作給出），它們是兩個不同的概念。 一個很好的介紹可能是算法分析

因此， O(...)表示法是一個上限，但T(...)是實際步驟。

您可以嘗試精確計算T function，或者您可以通過改進O降低上限 go ，但它們始終是不同的函數，因為O適用於所有可能條目的最壞情況。

在您的代碼中，對於排序 function，我們未知T ，只有它們的上限為O(n log n) ，然后：

T(n) ≤ O(n log n) + T(3) + O((n - 1) log (n - 1)) + T(3) + O((n - 2) log (n - 2) + ...
T(n) ≤ O(n log n) + n T(3) + n O(n log n)
                               ^^^^^^^^^

在這里，我們無法准確定義T用於對n-1 ， n-2 ，...進行排序操作，這就是為所有這些操作建立更高級別O(n log n)的原因。 然后：

T(n) ≤ O(n log n) + n T(3) + n O(n log n)
T(n) ≤ O(n log n) + O(n) + O(n² log n)
T(n) ≤ O(n² log n)

在第二個表達式中，我們有固定數量的上界，在這種情況下，上界將是上界的最高值。

（刪除、刪除和添加是T(3) ，忽略goto和比較）