scipy.sparse.linalg.spilu(A).solve() function使用什么算法？

Question

考慮以下代碼：

import numpy as np
import scipy.sparse.linalg

# Setup
A = scipy.sparse.csc_matrix([[1, -3], [-1, 4]])
b = np.array([1, 0])

spilu = scipy.sparse.linalg.spilu(A)  # Find ILU decomposition
x = spilu.solve(b)  # Use an iterative method to solve Ax = b ?

這導致x是Ax = b的解。

據我了解， scipy.sparse.linalg.spilu(A)計算的是 A 的不完全 LU 分解。

我的問題是： spilu.solve(b)究竟使用什么算法來求解Ax = b ？

我希望它使用一些迭代方法，例如共軛梯度法，因為這似乎是使用不完全 LU 分解的正常方法。 但是，我一直無法找到支持或不同意這一點的文件。 Furthermore, I'm confused because I see some people use LinearOperator and scipy.sparse.linalg.cg / scipy.sparse.linalg.cg in conjunction with scipy.sparse.linalg.spilu(A) , which would seem foolish if my hypothesis是正確的（ 例如）。

Answer 1

文檔說：

這個 function 使用 SuperLU 庫。

代碼通過：

return _superlu.gstrf(N, A.nnz, A.data, A.indices, A.indptr,
                      csc_construct_func=csc_construct_func,
                      ilu=True, options=_options)

這只是一個 SuperLU 包裝器：

static char gstrf_doc[] = "gstrf(A, ...)\n\
\n\
performs a factorization of the sparse matrix A=*(N,nnz,nzvals,rowind,colptr) and \n\
returns a factored_lu object.\n\
\n\
arguments\n\
---------\n\
\n\
Matrix to be factorized is represented as N,nnz,nzvals,rowind,colptr\n\
  as separate arguments.  This is compressed sparse column representation.\n\
\n\
N         number of rows and columns \n\
nnz       number of non-zero elements\n\
nzvals    non-zero values \n\
rowind    row-index for this column (same size as nzvals)\n\
colptr    index into rowind for first non-zero value in this column\n\
          size is (N+1).  Last value should be nnz. \n\
\n\
additional keyword arguments:\n\
-----------------------------\n\
options             specifies additional options for SuperLU\n\
                    (same keys and values as in superlu_options_t C structure,\n\
                    and additionally 'Relax' and 'PanelSize')\n\
\n\
ilu                 whether to perform an incomplete LU decomposition\n\
                    (default: false)\n\
";

看看最后一個參數 -> ilu！

splu看起來像：

return _superlu.gstrf(N, A.nnz, A.data, A.indices, A.indptr,
                      csc_construct_func=csc_construct_func,
                      ilu=False, options=_options)

這表明整個完整與不完整的邏輯被傳遞給 SuperLU。

現在讓我們看一下SuperLU 的手冊：

2.7 不完全 LU 因式分解 (ILU) 預條件子

從 SuperLU 4.0 版開始，我們提供 ILU 例程用作迭代求解器的預處理器。 我們的 ILU 方法可以被認為是最初由 Saad [31] 提出的 ILUTP 方法的變體，它結合了雙重丟棄策略和數值旋轉（“T”代表閾值，“P”代表旋轉）。

參考文獻[31]是：

薩德，優素福。 “ILUT：雙閾值不完全 LU 分解。” 數值線性代數與應用 1.4 (1994): 387-402。

這對我來說看起來像是一種 DIRECT 方法（ Eigen 也使用它），但我認為您將能夠查找您需要知道的內容。

Answer 2

此求解方法通過使用A的不完全分解來近似求解Ax=b 。 這就是為什么您看到它在那些迭代方法中用作預處理器。 求解方法是使用不完整因子的經典稀疏前/后替換算法，但由於它們不完整，因此不太可能給出准確的結果。

Answer 3

添加到 sascha 的答案：

_superlu.gstrf返回的object的solve _superlu.gstrf可以在scipy/sparse/linalg/_dsolve/_superluobject.Z4A8A08F09D37B7379563Z903.F中找到主要部分是對gstrs的調用（注意它是gstr s而不是gstr f ）：

static PyObject *SuperLU_solve(SuperLUObject * self, PyObject * args,
                               PyObject * kwds)
{
...
    gstrs(self->type,
          trans, &self->L, &self->U, self->perm_c, self->perm_r,
          (SuperMatrix *)&B, (SuperLUStat_t *)&stat, (int *)&info);
...
}

查看SuperLU 的文檔：

DGSTRS solves a system of linear equations A*X=B or A'*X=B
with A sparse and B dense, using the LU factorization computed by
DGSTRF.

所以Python代碼基本上在做的是調用*gstrf來計算LU分解，然后把它交給*gstrs來計算系統的解。

查看dgstrs的源代碼，它看起來只是使用 LU 分解，無論它是否不完整（也沒有允許指定的參數），所以它只會給你一個近似的解決方案不完全分解。