以下嵌套 for 循環的 Big-O class 是什么？

Question

我需要幫助弄清楚為什么 Java 中的以下代碼片段是 O(nlogn) 而不是 O(n^2)。 請問有什么幫助嗎？

int sumSome(int[] arr){
   int sum = 0;
   for (int i=0; i<arr.length;  i++) {
      for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
         if (arr[i] > arr[j])
            sum += arr[i];
      }
   }
   return sum;
}

Answer 1

考慮一個通用的數字區間可能會有所幫助，比如1 到 100 。

• 如果您一個接一個地遍歷該間隔，則循環將是 O(n)
• 如果你以任何線性步長循環遍歷它，比如一次 2 個或一次 10 個，循環將是 O(n/2)、O(n/10) 等，仍然簡化為 O(n ）。

但是，如果循環步驟的大小每次通過 loop 都發生變化，則會得到不同的結果：

• 如果您在每次將步長加倍（1、2、4、8、16、32、64）的同時遍歷該范圍，那么您最終將只運行循環 7 次才到達終點。 這是步長的指數增長，對應於循環中的對數次數：1 + log(100)，log base 2（向下舍入），簡化為 O(log n)。
• 如果每次將步長乘以 3（1、3、9、27、81），它將循環 1 + log(100) 次，log base 3，仍然簡化為 O(log n)。 等等。

所以在你的例子中，你有你的外循環 O(n) 乘以你的內循環 O(log n)，導致一個組合的 O(n * log n)。

在這個答案中可以找到不同時間復雜度的很好的例子。