帶有排除前提條件的 Coq 析構

Question

我正在用softwarefoundations 書學習 Coq，但被困在歸納章節的最后一個任務 - 練習：5 星，高級（binary_inverse）部分 c。

鑒於接下來的辯護。

Inductive bin : Type :=
  | Z
  | B0 (n : bin)
  | B1 (n : bin).

Fixpoint norm_bin (input :bin): bin :=
  match input with
    | Z => Z
    | B0 Z => Z
    | B1 restInput => B1 (norm_bin restInput)
    | B0 restInput=> match norm_bin restInput with
      | Z => Z
      | _ => B0 (norm_bin restInput)
    end
  end.

我試圖證明

Theorem norm_bin_B0_out : 
  forall b, norm_bin b <> Z -> norm_bin (B0 b) = B0 (norm_bin b).

我試圖destruct b ，但無法根據條件norm_bin b <> Z解決b = Z的情況， b不能為Z 。 我怎樣才能證明呢？ 提前致謝！

感謝下面的回復，我設法以這種方式證明了這一點：

Theorem norm_bin_B0_out : 
  forall b, norm_bin b <> Z -> norm_bin (B0 b) = B0 (norm_bin b).
Proof.
  intros b H.
  simpl.
  destruct norm_bin eqn:f.
  - simpl in H. tauto.
  - simpl. destruct b.
    { discriminate. }
    { reflexivity. }
    { reflexivity. }
  - destruct b.
    { discriminate. }
    { reflexivity. }
    { reflexivity. }
Qed.

我不知道 norm_bin 可以被破壞。 那是個問題。

Answer 1

當您的假設H是否定的（例如~A ），但您知道您可以證明被否定的公式（您可以證明A ），那么執行的最佳步驟是case H ，這會導致您的目標確實必須證明A 。

在確認這不是 SF 書中的練習后，我決定再幫助你一些。

在發言的公式norm_bin (B0 b)可享有由符號執行計算simpl戰術。 去做。

在此步驟之后，您會看到一個包含 2 個匹配語句的表達式。 其中一個是b上的 match 語句，另一個是norm_bin b上的 match 語句。 您的下一步可以是對b的destruct ，但也可以是對norm_bin的destruct norm_bin 。 嘗試兩條路線，但如果您選擇后者，請使用eqn: destruct策略的變體。

如果你喜歡，你的下一個步驟是在自毀b ，問題是，你得到一個表達norm_bin應用(B0 (B0 ...)使用simpl與這個公式一個目標會導致過多的計算。您將需要通過使用change而不是simpl來馴服這一點，並為自己編寫您認為最適合您需求的中間計算。