查找等於數組（已排序）值的索引的時間復雜度

Question

這種遞歸類似於二進制搜索，但我不確定如何使用反向替換來准確解決遞歸問題。

要找到等於數組值的索引（在排序數組中），代碼基本上如下所示：

find(array, low, high) {
    if high < low
         return -1

    mid = (low + high) / 2
    midval = array[mid]

    if midval == mid
        return mid

    int left = find(array, low, min - 1)
    if left >= 0
        return left

    int right = find(array, mid + 1, high)
    return right
}

所以遞歸關系看起來像這樣：

T(1) = b

T(n) = 2T(n/2) + c
     = 4T(n/4) + c(1+2)
     = 8T(n/8) + c(1+2+4)
     = 16(n/16) + c(1+2+4+8)

     = 2^k T(n/2^k) + (2^k - 1)c
     = 2^(logn)T(1) + (2^(logn) - 1)c
     = 2^(logn)(1+c) - c

我知道時間復雜度應該類似於 O(logn) 或 O(nlogn)，但我不確定如何使用反向替換從這里到達那里。

Answer 1

使用排序數組查找具有天真的實現的元素最壞情況下為O(n) 。 因此，更好的方法的最壞情況復雜度低於O(n) ，因此它不可能是O(n logn) 。

在典型的二分搜索中，一個人利用正在排序的數組，因此不需要為每個遞歸調用在兩個子樹中搜索。 一個在陣列上向左或向右移動。 因此，不是T(n) = 2T(n/2) + c T(n) = T(n/2) + c 。

現在您的問題與二分查找不同，因為您希望在一個與其索引值匹配的數組中找到一個 position。 因此，與此上下文中的二分查找不同，在某些遞歸調用中，您可能還需要左右 go。

所以在你的情況下，最壞的情況實際上是O(N) ，因為2^(log2N)是N正如你在這里看到的那樣。 除非有一種超級聰明的方法來改進您的代碼，否則我只會將 go 用於正常搜索，對於O(N)的最壞情況，代碼也將更簡單且更具可讀性。

如果值x與返回該值的索引匹配，則從數組的開頭進行搜索。 否則，如果x > the current index ，您可以跳轉到下一個等於值x的索引（即array[x] ），因此您跳過數組 position，基於該數組已排序將沒有索引匹配它的值。