排序列表的排序數組上操作的時間復雜度

Question

我有N個元素的排序數組，這些元素均勻分布在K個列表中，該列表也已排序。 以下內容的時間復雜度（最嚴格的Big-O表示法）將是什么？

1. 刪除最小的元素。
2. 移除最小元素后的重排數組。
3. 刪除所有N個元素

對於第一部分，我認為答案是O(1)因為最小的元素是第一個元素。 但是，包含在其中的列表不一定是第一個列表，因此我不確定。

對於第二部分，我不確定（也許是O(NK)嗎？）

第三部分，因為我們要遍歷整個數組，所以它必須是O(N) ，但是我不確定

Answer 1

具體的例子有幫助。 假設您有三個列表（數組）：

[7, 11, 15]
[3, 12, 19]
[2, 4, 6]

刪除最小的物品需要首先找到它。 各個列表是按順序排列的，但是列表的列表不是按順序排列的。 找到最小的項目將需要O（K）時間，因為您必須對列表列表進行順序掃描。

找到最小的項目后，將需要O（m）時間（其中m是包含最小項目的列表的大小）將其刪除。 原因是，當您從列表中刪除第一個項目時，所有其他項目都必須向上移動。 那是：

[2, 4, 6]變為[_, 4, 6] ，然后您必須向上移動以使[4, 6, _] 。 （ _表示null，或您用來表示“無值”的任何哨兵值。）

我想你可以說去除是O（1），然后對數組重新排序是O（m）。

您可以在O（N）的時間內刪除所有元素，只要您不關心以什么順序刪除它們即可。 如果要按排序順序刪除所有元素，則復雜度為O（n * K），因為每次必須查找最小的元素。 您可以通過實現K路合並來將其提高為O（n * log（K）），以增加O（K）額外的內存為代價。

Answer 2

這取決於您說“ K個列表也已排序”的意思。

如果數字在K個列表中隨機分布，但是K個列表本身都是已排序的，則將需要O（K）時間查看所有列表的開頭以標識最小的元素。 但是，如果數字在K個列表之間划分，則可以對K個列表A，B，C，...進行排序，以使A0 <= AN <= B0 <= BN <= C0 <= CN ... ，那么它需要O（1）時間來找到最小的元素，因為您知道它位於第一個列表的開頭。

刪除數組的最小或最大元素將保留現有的排序順序，因此這需要時間O（1） 。

“刪除”所有元素所需的時間取決於您的計算模型。 如果將刪除視為簡單地處理整個數據結構，則可能需要O（1）時間。 但是，如果每個元素需要單獨清理，則將花費O（N + K）時間： O（N）表示訪問每個元素的成本， O（K）表示訪問每個列表的成本。