Python 麥克勞林系列ln(x+1)

Question

我必須在 Python 上編寫一個 Maclaurin 級數 ln(x+1) 的程序。

我需要將輸入 function 用於兩個值：x、n。 然后檢查這些值是否合法並計算圍繞點 x 的表達式 ln (1 + ) 的 Maclaurin 近似值（n 階）。

*麥克勞林級數 ln(x+1)= ((-1)^n/n)*x^n 之和

當我計算到表達式時，我最后堆疊了我寫的內容（在之前的所有檢查之后）：

for i in range(n + 1):
    if i <= 1:
        continue
    else:
        x = x + (((-1) ** (i + 1)) * (x ** i) / i)

當我輸入測試時，我得到一個數字，但這是一個錯誤的答案。

請幫助我理解這段代碼有什么問題。

Answer 1

您在循環的每次迭代中修改x的值。 添加並將部分和存儲在另一個變量中。

def maclaurin_ln(x, n):
    mac_sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        mac_sum += (((-1) ** (i + 1)) * (x ** i) / i)
    return mac_sum

您可以使用內置的 function log1p進行測試，以查看它們的接近程度。

1. 對於ln(2)對於不同的 n，

from tabulate import tabulate
res = []
for n in [1, 10, 100, 1000, 10000]:
    p = math.log1p(1)
    q = maclaurin_ln(1, n)
    res.append([1, n, p, q, q-p])
tabulate(res, headers=["x", "n", "log1p", "maclaurin_ln", "maclaurin_ln-log1p"])

  x      n     log1p    maclaurin_ln    maclaurin_ln-log1p
---  -----  --------  --------------  --------------------
  1      1  0.693147        1                  0.306853
  1     10  0.693147        0.645635          -0.0475123
  1    100  0.693147        0.688172          -0.004975
  1   1000  0.693147        0.692647          -0.00049975
  1  10000  0.693147        0.693097          -4.99975e-05

2. 對於不同的 x，

res = []
for x in range(10):
    p = math.log1p(x/10)
    q = maclaurin_ln(x/10, 100)
    res.append([x/10, 1000, p, q, q-p])
tabulate(res, headers=["x", "n", "log1p", "maclaurin_ln", "maclaurin_ln-log1p"])

  x     n      log1p    maclaurin_ln    maclaurin_ln-log1p
---  ----  ---------  --------------  --------------------
0    1000  0               0                   0
0.1  1000  0.0953102       0.0953102           1.38778e-17
0.2  1000  0.182322        0.182322            2.77556e-17
0.3  1000  0.262364        0.262364           -1.11022e-16
0.4  1000  0.336472        0.336472            0
0.5  1000  0.405465        0.405465           -1.11022e-16
0.6  1000  0.470004        0.470004            5.55112e-17
0.7  1000  0.530628        0.530628           -4.44089e-16
0.8  1000  0.587787        0.587787           -9.00613e-13
0.9  1000  0.641854        0.641854           -1.25155e-07

Answer 2

從數學上講，麥克勞林級數有點超出我的想象，但我會盡力提供幫助。 兩件事情。

首先，您在計算時將所有連續值存儲在 x 中； 這意味着 n = 5 (i = 5) 的項使用的 x 的值不是參數 x 的原始值，但它具有存儲在其中的四個先前計算的連續結果。 您需要做的是：

    total = 0
    for each value:
          this term = some function of x    # the value of x does not change
          total = total + this term

其次，為什么你對 i（或 n）等於 1 的術語不感興趣？ 條件

   if i <= 1:
       continue

跳過 i 等於 1 的情況，計算結果為 -x。

據我所知，這應該可以解決它。