指數 function 的參數，最大似然為 R

Question

我得到了一個樣本數據，我試圖獲得基於最大似然計算的兩參數指數 function 的參數。

我的樣本：

sample = c(136.5,150,94.1,127.6,77.2,136.1,83.4,75.6,92.7,106.5,95.9,112.1,80.7,90.4,143.7,152.7,113.3,143.9,87.9,85.2,117.2,193,153.7,84.7,97.3,140.3,80,103.6,72.6,90.7,52.6,52.8)

我的主要目標是使用cdf或指數的quantile來獲得最大似然性，就像這樣：

GEV 示例：

library(nsRFA)

parameters <- ML_estimation(sample, dist = "GEV")
p = c(0.1,0.066667,0.05,0.04,0.033333,0.02,0.01,0.005,0.002,0.001,0.0002,0.0001)
q = invF.GEV(1-p, parameters[1], parameters[2], parameters[3]); q
> 149.4 158.8 165.2 170 173.9 184.3 197.6 210 225.4 236.2 258.9 267.7

Answer 1

兩參數指數 function 是指數 function ，下端點位於xi 。 找到具有如此尖銳邊界點的分布的 MLE 是一種特殊情況：邊界的 MLE等於在數據集中觀察到的最小值（參見例如這個 CrossValidated 問題）。 這使得二參數指數的 MLE 等效於x-xmin的指數分布的 MLE。

所以xi的 MLE 是

print(xi <- min(sample))

1. 使用MASS::fitdistr ：

(m0 <- MASS::fitdistr(sample-xi, "exponential"))
      rate    
  0.018382353 
 (0.003249572)

2. 與bbmle ：

m1 <- bbmle::mle2(y-xi~dexp(lambda), 
      data=data.frame(y=sample), start=list(lambda=1),
      method="Brent", lower=0.001, upper=100)
broom::tidy(m1, conf.int=TRUE, conf.method="profile")

  term   estimate std.error statistic      p.value conf.low conf.high
  <chr>     <dbl>     <dbl>     <dbl>        <dbl>    <dbl>     <dbl>
1 lambda   0.0184   0.00325      5.66 0.0000000154   0.0127    0.0255

3. 解析解：

1/mean(sample-xi)
## [1] 0.01838235

如果您想要一個簡單的 function 提供移位和比例參數（顯然由您的替代軟件提供）：

est_twoexp <- function(x) {
   xi <- min(x)
   c(xi = xi, scale = mean(sample-xi))
}
est_twoexp(sample)
##    xi scale 
##  52.6  54.4 

est_twoexp <- function(x) {
   xi <- min(x)
   c(xi = xi, scale = mean(sample-xi))
}
est_twoexp(sample)
##    xi scale 
##  52.6  54.4 

繪圖：

library(nsRFA)
ee <- ecdf(sample)
inv_ecdf <- approxfun(seq(0, 1, length=length(sample)),
                      sort(sample),
                      method="constant")
## homemade quantile function
q2exp <- function(p, xi, scale) {
  xi + qexp(p, rate=1/scale)
}

curve(inv_ecdf(x), from=0, to=1, type="s", ylim=c(40,250))
with(as.list(est_twoexp(sample)),
     curve( invF.exp (x, xi, scale), col=2, lwd=2, add=TRUE))
with(as.list(est_twoexp(sample)),
     curve( q2exp(x, xi, scale), col=4, lwd=2, lty= 2, add=TRUE))

帶有family=Gamma的glm不起作用，因為它不允許零值（在 Gamma 分布的一般族中， x==0僅具有正的、有限的指數分布密度）