混合泊松分布：R 中的均值和方差

Question

所以，我試圖模擬混合泊松分布：

data2 <- data.frame(x = c(rpois(n = 50, lambda = 0), rpois(n = 450, lambda = 10)))

然后在其上繪制直方圖和密度函數，對於分布函數，我使用了spatstat包中的函數dmixpois 。 這是情節的代碼：

ggplot(data2, aes(x = x)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 15) +
  geom_line(aes(x = x, y = dmixpois(data2$x, mu = 9, sd = sqrt(41))))

這是情節：

顯然，密度函數是錯誤的。 據我所知，混合泊松分布的均值是單一分布均值的線性組合，方差為 Eλ + Varλ。 在圖中我只使用了方差項，但如果我添加 lambda 的期望值，我會得到更加陡峭的密度。 計算有什么問題？

Answer 1

您正在模擬的“混合泊松”與spatstat中的混合泊松模型不同，后者只是假設泊松分布的 lambda 本身是一個正態分布的隨機變量。 從文檔：

實際上，泊松均值參數 lambda 通過設置 lambda = invlink(Z) 隨機化，其中 Z 具有高斯 N(μ,σ²) 分布。

因此，它不會模擬兩個獨立泊松分布的混合。

看起來您正在模擬的是零膨脹泊松分布，也就是說，對於任何給定的觀察，有可能獲得零計數或泊松分布計數的分布。 在VGAM包中有一個特定的dzipois 。

還要記住，泊松分布是一個離散的概率分布，所以你不能用一條連續的線正確地顯示它，而只能用整數值處的點或尖峰來表示。

如果要繪制與模擬匹配的分布，可以嘗試以下操作：

set.seed(1) # To make the example reproducible

data2 <- data.frame(x = c(rpois(n = 50, lambda = 0), 
                          rpois(n = 450, lambda = 10)))


ggplot(data2) +
  geom_histogram(aes(x = x, y = ..density..), breaks = 0:21 - 0.5) +
  geom_point(data = data.frame(x =0:20, y = VGAM::dzipois(0:20, 10, 1/10)),
             aes(x, y))

Answer 2

首先， lambda = 0的泊松分布是退化的並且總是恆定為零：

rpois(10, lambda = 0)
[1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

這就是為什么您在x = 0處出現尖峰的原因。

其次，泊松分布是離散的，因此沒有密度（或 pdf）。 相反，您可以在直方圖中繪制相對頻率（就像您所做的那樣）來估計X = x的概率。

混合分布的平均值只是基礎分布的加權平均值。 在您的情況下，基礎分布的權重為 10% 和 90%，因此 E[X] = 0.1 E[X_1] + 0.9 E[X_2] = 0,9

混合分布的方差由 Var(X) = Var(\Lambda) + E[Lambda] 給出

所以一切都正常工作：

set.seed(1)

df <- data.frame(x = c(rpois(50, 1), rpois(450, 9))) 

mean(df$x)
sd(df$x)
var(df$x)