使用兩個嵌套的while循環時如何降低時間復雜度？

Question

第一個輸入將是測試用例的數量t ，然后給定兩個數字a和b你必須執行i操作，這樣，

• 如果i是奇數，則a加 1
• 如果i是偶數，則將 2 添加到a

現在如果a可以等於b ，則打印 YES，如果不能，則打印 NO

當我嘗試提交我的解決方案時， i收到超過時間限制的錯誤。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int t, a, b;
    cin >> t;
    while (t)
    {
        cin >> a >> b;
        int flag = 1;
        while (a != b && a < b)
        {
            if (flag % 2 == 0)
            {
                a += 2;
            }
            else
            {
                a += 1;
            }
            flag++;
        }
        if (a == b)
            cout << "YES" << endl;
        else
            cout << "NO" << endl;
        t--;
    }
    return 0;
}

Answer 1

您不需要實際從a迭代到b ，只需使用以下觀察來解決：

• 經過 2 次操作后， a的值增加了3 。 因此，經過偶數次操作（讓數字為2k ）， a增加了3k 。
• 類似地，對於奇數個操作（形式為2k+1 ）， a增加3k+1 。

如您所見， a可以增加3k或3k+1 ，這意味着b可以從a if (ba) mod 3 = (0 or 1)到達（顯然，如果b>a ）。 您可以在O(1)復雜度中檢查這一點。

Answer 2

內部循環可以簡化為數學表達式。 我們可以通過一些例子來建立模型。

例如，如果 a = 10，則 b = 20。

Loop 1 a += 1 (11)
Loop 2 a += 2 (13)
Loop 3 a += 1 (14)
Loop 4 a += 2 (16)
...

我們可以看到，經過兩次操作后，a 增加了 3。可以概括為，經過 2n 次操作（表示偶數）后，a 增加了 3n。 另一方面，在 2n + 1 運算（奇數）之后，a 等於增加 3n + 1。因此，a 可以增加 3n 或 3n+1。 因此，3n 或 3n+1 必須能夠等於 a 和 b 的差，在本例中為 10。

因此，要么

1. 3 has to divide b - a, (b-a)%3 = 0 
2. 3 has to divide b - a with a remainder of 1, (b-a)%3=1

因此，使用數學表達式代替循環可以簡單地將每個輸入的運行時間降低到 O(1)。