使用两个嵌套的while循环时如何降低时间复杂度？

Question

第一个输入将是测试用例的数量t ，然后给定两个数字a和b你必须执行i操作，这样，

• 如果i是奇数，则a加 1
• 如果i是偶数，则将 2 添加到a

现在如果a可以等于b ，则打印 YES，如果不能，则打印 NO

当我尝试提交我的解决方案时， i收到超过时间限制的错误。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int t, a, b;
    cin >> t;
    while (t)
    {
        cin >> a >> b;
        int flag = 1;
        while (a != b && a < b)
        {
            if (flag % 2 == 0)
            {
                a += 2;
            }
            else
            {
                a += 1;
            }
            flag++;
        }
        if (a == b)
            cout << "YES" << endl;
        else
            cout << "NO" << endl;
        t--;
    }
    return 0;
}

Answer 1

您不需要实际从a迭代到b ，只需使用以下观察来解决：

• 经过 2 次操作后， a的值增加了3 。 因此，经过偶数次操作（让数字为2k ）， a增加了3k 。
• 类似地，对于奇数个操作（形式为2k+1 ）， a增加3k+1 。

如您所见， a可以增加3k或3k+1 ，这意味着b可以从a if (ba) mod 3 = (0 or 1)到达（显然，如果b>a ）。 您可以在O(1)复杂度中检查这一点。

Answer 2

内部循环可以简化为数学表达式。 我们可以通过一些例子来建立模型。

例如，如果 a = 10，则 b = 20。

Loop 1 a += 1 (11)
Loop 2 a += 2 (13)
Loop 3 a += 1 (14)
Loop 4 a += 2 (16)
...

我们可以看到，经过两次操作后，a 增加了 3。可以概括为，经过 2n 次操作（表示偶数）后，a 增加了 3n。 另一方面，在 2n + 1 运算（奇数）之后，a 等于增加 3n + 1。因此，a 可以增加 3n 或 3n+1。 因此，3n 或 3n+1 必须能够等于 a 和 b 的差，在本例中为 10。

因此，要么

1. 3 has to divide b - a, (b-a)%3 = 0 
2. 3 has to divide b - a with a remainder of 1, (b-a)%3=1

因此，使用数学表达式代替循环可以简单地将每个输入的运行时间降低到 O(1)。