如何在 2D 中計算三重乘積

Question

我正在關注這篇關於如何為碰撞檢測編寫 GJK 算法的文章，但我不是在 3D 中進行，而是在 2D 中進行。

然而，在某一時刻，有一段代碼：

bool Line(
    Simplex& points,
    vector3& direction)
{
    vector3 a = points[0];
    vector3 b = points[1];

    vector3 ab = b - a;
    vector3 ao =   - a;
 
    if (SameDirection(ab, ao)) {
        direction = ab.cross(ao).cross(ab);
    }

    else {
        points = { a };
        direction = ao;
    }

    return false;
}

如您所見，他鏈接了兩個交叉產品以找到下一個方向，但我怎么能在 2D 中做到這一點？

這是一張使這些向量更清晰的圖片：

Answer 1

3D 中的向量叉三乘積是

p = a ×( b × c )

可以使用以下矩陣/向量積計算完全展開

|px|   | -ay*by-az*bz     ay*bx        az*bx      | | cx |
|py| = |    ax*by      -ax*bx-az*bz    az*by      | | cy |
|pz|   |    ax*bx         ay*bz      -ax*bx-ay*by | | cz |

以上有多個 2D 投影，這取決於向量a 、 b或c中的一個或兩個是否不在平面（z 分量非零）。

在您的情況下，所有三個向量都在平面內（ az=0 ， bz=0和cz=0 ），這會產生以下結果

|px|   | -ay*by   ay*bx               0 | | cx |   | ay*(bx*cy-by*cx) |
|py| = |  ax*by  -ax*bx               0 | | cy | = | ax*(by*cx-bx*cy) |
| 0|   |      0       0    -ax*bx-ay*by | |  0 |   |                0 |

所以你有它。 上面的右邊是二維中a ×( b × c ) 的結果。