[英]How to tell whether a point is to the right or left side of a line
我有一組要點。 我想將它們分成兩個不同的集合。 為此，我選擇了兩個點（ a和b ）並在它們之間畫了一條假想線。 現在我想把這條線左邊的所有點都放在一組里，把這條線右邊的點放在另一組里。
我如何判斷任何給定點z是在左側還是右側？ 我試圖計算a-zb之間的角度——小於 180 的角度在右側，大於 180 的角度在左側——但是由於 ArcCos 的定義，計算出的角度總是小於 180°。 是否有計算大於 180° 的角度的公式（或選擇右側或左側的任何其他公式）？
試試這個使用叉積的代碼：
public bool isLeft(Point a, Point b, Point c){
return ((b.X - a.X)*(c.Y - a.Y) - (b.Y - a.Y)*(c.X - a.X)) > 0;
}
其中a = 線點 1； b = 線點 2； c = 要檢查的點。
如果公式等於 0，則這些點共線。
如果線條是水平的，那么如果點在線條上方，則返回 true。
使用向量(AB,AM)行列式的符號，其中M(X,Y)是查詢點：
position = sign((Bx - Ax) * (Y - Ay) - (By - Ay) * (X - Ax))
線上為0 ，一側為+1 ，另一側為-1 。
你看行列式的符號
| x2-x1 x3-x1 |
| y2-y1 y3-y1 |
一側的點為正，另一側為負（直線本身的點為零）。
矢量(y1 - y2, x2 - x1)垂直於線，並且始終指向右側（或始終指向左側，如果您的平面方向與我的不同）。
然后，您可以計算該向量與(x3 - x1, y3 - y1)的點積，以確定該點是否與垂直向量（點積 > 0 ）位於直線的同一側。
首先檢查是否有垂直線：
if (x2-x1) == 0
if x3 < x2
it's on the left
if x3 > x2
it's on the right
else
it's on the line
然后，計算斜率： m = (y2-y1)/(x2-x1)
然后，使用點斜率形式創建直線方程： y - y1 = m*(x-x1) + y1 。 為了我的解釋，將其簡化為斜截式（在您的算法中不是必需的）： y = mx+b 。
現在為x和y插入(x3, y3) 。 下面是一些偽代碼，詳細說明應該發生什么：
if m > 0
if y3 > m*x3 + b
it's on the left
else if y3 < m*x3 + b
it's on the right
else
it's on the line
else if m < 0
if y3 < m*x3 + b
it's on the left
if y3 > m*x3+b
it's on the right
else
it's on the line
else
horizontal line; up to you what you do
我在 java 中實現了這個並運行了一個單元測試（來源如下）。 上述解決方案均無效。 這段代碼通過了單元測試。 如果有人發現未通過的單元測試，請告訴我。
代碼： 注意：如果兩個數字非常接近nearlyEqual(double,double)返回 true。
/*
* @return integer code for which side of the line ab c is on. 1 means
* left turn, -1 means right turn. Returns
* 0 if all three are on a line
*/
public static int findSide(
double ax, double ay,
double bx, double by,
double cx, double cy) {
if (nearlyEqual(bx-ax,0)) { // vertical line
if (cx < bx) {
return by > ay ? 1 : -1;
}
if (cx > bx) {
return by > ay ? -1 : 1;
}
return 0;
}
if (nearlyEqual(by-ay,0)) { // horizontal line
if (cy < by) {
return bx > ax ? -1 : 1;
}
if (cy > by) {
return bx > ax ? 1 : -1;
}
return 0;
}
double slope = (by - ay) / (bx - ax);
double yIntercept = ay - ax * slope;
double cSolution = (slope*cx) + yIntercept;
if (slope != 0) {
if (cy > cSolution) {
return bx > ax ? 1 : -1;
}
if (cy < cSolution) {
return bx > ax ? -1 : 1;
}
return 0;
}
return 0;
}
這是單元測試：
@Test public void testFindSide() {
assertTrue("1", 1 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, -1, -1));
assertTrue("1.1", 1 == Utility.findSide(25, 0, 0, 0, -1, -14));
assertTrue("1.2", 1 == Utility.findSide(25, 20, 0, 20, -1, 6));
assertTrue("1.3", 1 == Utility.findSide(24, 20, -1, 20, -2, 6));
assertTrue("-1", -1 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, 1, 1));
assertTrue("-1.1", -1 == Utility.findSide(12, 0, 0, 0, 2, 1));
assertTrue("-1.2", -1 == Utility.findSide(-25, 0, 0, 0, -1, -14));
assertTrue("-1.3", -1 == Utility.findSide(1, 0.5, 0, 0, 1, 1));
assertTrue("2.1", -1 == Utility.findSide(0,5, 1,10, 10,20));
assertTrue("2.2", 1 == Utility.findSide(0,9.1, 1,10, 10,20));
assertTrue("2.3", -1 == Utility.findSide(0,5, 1,10, 20,10));
assertTrue("2.4", -1 == Utility.findSide(0,9.1, 1,10, 20,10));
assertTrue("vertical 1", 1 == Utility.findSide(1,1, 1,10, 0,0));
assertTrue("vertical 2", -1 == Utility.findSide(1,10, 1,1, 0,0));
assertTrue("vertical 3", -1 == Utility.findSide(1,1, 1,10, 5,0));
assertTrue("vertical 3", 1 == Utility.findSide(1,10, 1,1, 5,0));
assertTrue("horizontal 1", 1 == Utility.findSide(1,-1, 10,-1, 0,0));
assertTrue("horizontal 2", -1 == Utility.findSide(10,-1, 1,-1, 0,0));
assertTrue("horizontal 3", -1 == Utility.findSide(1,-1, 10,-1, 0,-9));
assertTrue("horizontal 4", 1 == Utility.findSide(10,-1, 1,-1, 0,-9));
assertTrue("positive slope 1", 1 == Utility.findSide(0,0, 10,10, 1,2));
assertTrue("positive slope 2", -1 == Utility.findSide(10,10, 0,0, 1,2));
assertTrue("positive slope 3", -1 == Utility.findSide(0,0, 10,10, 1,0));
assertTrue("positive slope 4", 1 == Utility.findSide(10,10, 0,0, 1,0));
assertTrue("negative slope 1", -1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, 1,2));
assertTrue("negative slope 2", -1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, 1,2));
assertTrue("negative slope 3", 1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, -1,-2));
assertTrue("negative slope 4", -1 == Utility.findSide(-10,10, 0,0, -1,-2));
assertTrue("0", 0 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, -1, 0));
assertTrue("1", 0 == Utility.findSide(0,0, 0, 0, 0, 0));
assertTrue("2", 0 == Utility.findSide(0,0, 0,1, 0,2));
assertTrue("3", 0 == Utility.findSide(0,0, 2,0, 1,0));
assertTrue("4", 0 == Utility.findSide(1, -2, 0, 0, -1, 2));
}
我想提供一個受物理學啟發的解決方案。
想象一下沿線施加的力，您正在測量該點周圍的力的扭矩。 如果扭矩為正（逆時針），則該點位於直線的“左側”，但如果扭矩為負，則該點位於直線的“右側”。
所以如果力矢量等於定義線的兩點的跨度
fx = x_2 - x_1
fy = y_2 - y_1
您根據以下測試的符號測試點(px,py)的一側
var torque = fx*(py-y_1)-fy*(px-x_1)
if torque>0 then
"point on left side"
else if torque <0 then
"point on right side"
else
"point on line"
end if
假設點是 (Ax,Ay) (Bx,By) 和 (Cx,Cy)，您需要計算：
(Bx - Ax) * (Cy - Ay) - (By - Ay) * (Cx - Ax)
如果點 C 位於由點 A 和 B 形成的線上，則該值將為零，並且根據邊的不同將具有不同的符號。 這是哪一側取決於您的 (x,y) 坐標的方向，但您可以將 A、B 和 C 的測試值插入此公式以確定負值是向左還是向右。
這是一個版本，再次使用交叉產品邏輯，用 Clojure 編寫。
(defn is-left? [line point]
(let [[[x1 y1] [x2 y2]] (sort line)
[x-pt y-pt] point]
(> (* (- x2 x1) (- y-pt y1)) (* (- y2 y1) (- x-pt x1)))))
用法示例：
(is-left? [[-3 -1] [3 1]] [0 10])
true
也就是說點 (0, 10) 在由 (-3, -1) 和 (3, 1) 確定的直線的左邊。
注意：此實現解決了其他任何一個（到目前為止）都沒有解決的問題！ 在給出確定線的點時，順序很重要。 即，從某種意義上說，它是一條“有向線”。 所以對於上面的代碼，這個調用也會產生true的結果：
(is-left? [[3 1] [-3 -1]] [0 10])
true
那是因為這段代碼：
(sort line)
最后，與其他基於叉積的解決方案一樣，該解決方案返回一個布爾值，並且不會給出第三個共線性結果。 但它會給出一個有意義的結果，例如：
(is-left? [[1 1] [3 1]] [10 1])
false
@AVB 在 ruby 中的回答
det = Matrix[
[(x2 - x1), (x3 - x1)],
[(y2 - y1), (y3 - y1)]
].determinant
如果det為正則其上方，如果負則其下方。 如果為0，它就行了。
基本上，我認為有一個更簡單直接的解決方案，對於任何給定的多邊形，假設由四個頂點（p1，p2，p3，p4）組成，在多邊形中找到兩個極端相反的頂點，在另一個話，找到例如最左上角的頂點（比方說 p1）和位於最右下角的相反頂點（比方說）。 因此，鑒於您的測試點 C(x,y)，現在您必須在 C 和 p1 以及 C 和 p4 之間進行雙重檢查：
if cx > p1x AND cy > p1y ==> 表示 C 位於 p1 的下方和右側 if cx < p2x AND cy < p2y ==> 表示 C 位於 p4 的上方和左側
結論，C在矩形內。
謝謝 ：）
雖然我發現 Eric Bainville 的回答是正確的，但我發現它完全不足以理解：
sign ？ position = sign((Bx - Ax) * (Y - Ay) - (By - Ay) * (X - Ax))
Bx ？Y ？ Y不是一個向量，而不是一個標量嗎？此外，我的用例涉及復雜的曲線而不是簡單的直線，因此需要進行一些重新調整：
Point a = new Point3d(ax, ay, az); // point on line
Point b = new Point3d(bx, by, bz); // point on line
如果您想查看您的點是否高於/低於曲線，那么您需要獲得您感興趣的特定曲線的一階導數 - 也稱為曲線上點的切線。 如果你能這樣做，那么你就可以突出你的興趣點。 當然，如果你的曲線是一條線，那么你只需要沒有切線的興趣點。 切線是直線。
Vector3d lineVector = curve.GetFirstDerivative(a); // where "a" is a point on the curve. You may derive point b with a simple displacement calculation:
Point3d b = new Point3d(a.X, a.Y, a.Z).TransformBy(
Matrix3d.Displacement(curve.GetFirstDerivative(a))
);
Point m = new Point3d(mx, my, mz) // the point you are interested in.
return (b.X - a.X) * (m.Y - a.Y) - (b.Y - a.Y) * (m.X - a.X) < 0; // the answer
為我工作！ 請參閱上圖中的證明。 青磚滿足條件，但外面的磚被過濾掉了。 在我的用例中 - 我只想要接觸圓圈的磚塊。
我會回來解釋這個。 總有一天。 不知何故...
了解 netters 提供的解決方案的另一種方法是了解一些幾何含義。
讓pqr =[P,Q,R] 是形成一個平面的點，該平面被線[P,R]分成 2 邊。 我們要找出pqr平面上的兩個點 A、B 是否在同一側。
pqr 平面上的任何點T都可以用 2 個向量表示： v = PQ 和u = RQ，如下所示：
T' = TQ = i * v + j * u
現在幾何含義：
i+j: <0 0 <1 =1 >1 ---------Q------[PR]--------- <== this is PQR plane ^ pr line
一般來說，
i和j的其他幾何意義（與本解無關）是：
i,j的值可以通過求解方程得到：
i*vx + j*ux = T'x
i*vy + j*uy = T'y
i*vz + j*uz = T'z
所以我們在平面上得到了 2 個點，A，B：
A = a1 * v + a2 * u B = b1 * v + b2 * u
如果 A、B 在同一側，則為真：
sign(a1+a2-1) = sign(b1+b2-1)
請注意，這也適用於以下問題： A,B 在平面 [P,Q,R] 的同一側，其中：
T = i * P + j * Q + k * R
並且i+j+k=1意味着 T 在平面 [P,Q,R] 上並且i+j+k-1的符號意味着它的邊性。 由此我們有：
A = a1 * P + a2 * Q + a3 * RB = b1 * P + b2 * Q + b3 * R
和 A,B 在平面 [P,Q,R] 的同一側，如果
sign(a1+a2+a3-1) = sign(b1+b2+b3-1)
直線方程是 y-y1 = m(x-x1)
這里 m 是 y2-y1 / x2-x1
現在將 m 放入方程並將條件放在 y < m(x-x1) + y1 上，然后它是左側點
例如。
for i in rows:
for j in cols:
if j>m(i-a)+b:
image[i][j]=0
A(x1,y1) B(x2,y2) 長度為 L=sqrt( (y2-y1)^2 + (x2-x1)^2 ) 的線段
和一個點 M(x,y)
進行坐標變換，以便成為新的起點 A 和新 X 軸的點 B
我們有了點 M 的新坐標
這是 newX = ((x-x1) (x2-x1)+(y-y1) (y2-y1)) / L
從 (x-x1)*cos(t)+(y-y1)*sin(t) 其中 cos(t)=(x2-x1)/L, sin(t)=(y2-y1)/L
newY = ((y-y1) (x2-x1)-(x-x1) (y2-y1)) / L
從 (y-y1)*cos(t)-(x-x1)*sin(t)
因為“左”是 Y 為正的 X 軸的一側，如果 newY（即 M 與 AB 的距離）為正，則它在 AB 的左側（新的 X 軸）您可以省略除以 L（始終為正），如果您只想要符號
如何讓程序知道某個點在直線的右邊還是左邊？
[英]How to let the program know if a point is at the right or the left of a line?
圍繞 Unity3D 中左側或右側為中心的點旋轉 object
[英]Rotating an object around a point with the left or right side to the center in Unity3D
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[英]How to get the Left,Top,Right,Bottom point of a UIElement in WPF?
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