使用Cairo繪制夾緊的均勻立方B樣條

Question

我有一堆坐標，它們是2D平面上夾緊的均勻立方B樣條的控制點。 我想使用Cairo調用繪制此曲線（在Python中，使用Cairo的Python綁定），但據我所知，Cairo僅支持Bézier曲線。 我也知道可以使用Bézier曲線繪制兩個控制點之間的B樣條曲線，但我無法在任何地方找到精確的公式。 給定控制點的坐標，如何導出相應Bézier曲線的控制點？ 那有什么有效的算法嗎？

Answer 1

好的，所以我用Google搜索了很多，我想我想出了一個適合我目的的合理解決方案。 我在這里張貼它 - 也許它對其他人也有用。

首先，讓我們從一個簡單的Point類開始：

from collections import namedtuple

class Point(namedtuple("Point", "x y")):
    __slots__ = ()

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5):
        return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \
                     y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio))

立方B樣條只不過是Point對象的集合：

class CubicBSpline(object):
    __slots__ = ("points", )

    def __init__(self, points):
        self.points = [Point(*coords) for coords in points]

現在，假設我們有一個開放的均勻立方B樣條而不是夾緊的。 三次B樣條的四個連續控制點定義單個Bézier段，因此控制點0到3定義第一個Bézier段，控制點1到4定義第二個段，依此類推。 Bézier樣條的控制點可以通過以適當的方式在B樣條的控制點之間線性插值來確定。 設A，B，C和D為B樣條的四個控制點。 計算以下輔助點：

1. 找到以2：1的比例划分AB線的點，讓它為A'。
2. 找到以1：2的比例划分CD線的點，讓它為D'。
3. 將BC線分成三個相等的部分，讓兩個點分別為F和G.
4. 找到A'和F之間的點，這將是E.
5. 找到G和D'之間的點，這將是H.

從E到H的Bézier曲線與控制點F和G相當於A，B，C和D點之間的開放B樣條。參見本優秀文件的 1-5節。 順便說一句，上述方法被稱為Böhm算法，如果用適當的數學方法表示，它也會更加復雜，這也解釋了非均勻或非立方B樣條。

我們必須對B樣條的每組4個連續點重復上述過程，因此最后我們將需要幾乎任何連續控制點對之間的1：2和2：1分割點。 這是繪制曲線之前的以下BSplineDrawer類：

class BSplineDrawer(object):
    def __init__(self, context):
        self.ctx = context

    def draw(self, bspline):
        pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:])
        one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs]
        two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs]

        coords = [None] * 6
        for i in xrange(len(bspline.points) - 3):
            start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1])
            coords[0:2] = one_thirds[i+1]
            coords[2:4] = two_thirds[i+1]
            coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2])

            self.context.move_to(*start)
            self.context.curve_to(*coords)
            self.context.stroke()

最后，如果我們想要繪制夾緊的B樣條而不是開放的B樣條，我們只需要重復三次夾緊B樣條的兩個端點：

class CubicBSpline(object):
    [...]
    def clamped(self):
        new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3
        return CubicBSpline(new_points)

最后，這是代碼應該如何使用：

import cairo

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400)
ctx = cairo.Context(surface)

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)]
spline = CubicBSpline(points).clamped()

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.)
ctx.set_line_width(5)
BSplineDrawer(ctx).draw(spline)

Answer 2

將B樣條曲線轉換為Bezier樣條曲線有幫助嗎？