使用Cairo绘制夹紧的均匀立方B样条

Question

我有一堆坐标，它们是2D平面上夹紧的均匀立方B样条的控制点。 我想使用Cairo调用绘制此曲线（在Python中，使用Cairo的Python绑定），但据我所知，Cairo仅支持Bézier曲线。 我也知道可以使用Bézier曲线绘制两个控制点之间的B样条曲线，但我无法在任何地方找到精确的公式。 给定控制点的坐标，如何导出相应Bézier曲线的控制点？ 那有什么有效的算法吗？

Answer 1

好的，所以我用Google搜索了很多，我想我想出了一个适合我目的的合理解决方案。 我在这里张贴它 - 也许它对其他人也有用。

首先，让我们从一个简单的Point类开始：

from collections import namedtuple

class Point(namedtuple("Point", "x y")):
    __slots__ = ()

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5):
        return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \
                     y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio))

立方B样条只不过是Point对象的集合：

class CubicBSpline(object):
    __slots__ = ("points", )

    def __init__(self, points):
        self.points = [Point(*coords) for coords in points]

现在，假设我们有一个开放的均匀立方B样条而不是夹紧的。 三次B样条的四个连续控制点定义单个Bézier段，因此控制点0到3定义第一个Bézier段，控制点1到4定义第二个段，依此类推。 Bézier样条的控制点可以通过以适当的方式在B样条的控制点之间线性插值来确定。 设A，B，C和D为B样条的四个控制点。 计算以下辅助点：

1. 找到以2：1的比例划分AB线的点，让它为A'。
2. 找到以1：2的比例划分CD线的点，让它为D'。
3. 将BC线分成三个相等的部分，让两个点分别为F和G.
4. 找到A'和F之间的点，这将是E.
5. 找到G和D'之间的点，这将是H.

从E到H的Bézier曲线与控制点F和G相当于A，B，C和D点之间的开放B样条。参见本优秀文件的 1-5节。 顺便说一句，上述方法被称为Böhm算法，如果用适当的数学方法表示，它也会更加复杂，这也解释了非均匀或非立方B样条。

我们必须对B样条的每组4个连续点重复上述过程，因此最后我们将需要几乎任何连续控制点对之间的1：2和2：1分割点。 这是绘制曲线之前的以下BSplineDrawer类：

class BSplineDrawer(object):
    def __init__(self, context):
        self.ctx = context

    def draw(self, bspline):
        pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:])
        one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs]
        two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs]

        coords = [None] * 6
        for i in xrange(len(bspline.points) - 3):
            start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1])
            coords[0:2] = one_thirds[i+1]
            coords[2:4] = two_thirds[i+1]
            coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2])

            self.context.move_to(*start)
            self.context.curve_to(*coords)
            self.context.stroke()

最后，如果我们想要绘制夹紧的B样条而不是开放的B样条，我们只需要重复三次夹紧B样条的两个端点：

class CubicBSpline(object):
    [...]
    def clamped(self):
        new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3
        return CubicBSpline(new_points)

最后，这是代码应该如何使用：

import cairo

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400)
ctx = cairo.Context(surface)

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)]
spline = CubicBSpline(points).clamped()

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.)
ctx.set_line_width(5)
BSplineDrawer(ctx).draw(spline)

Answer 2

将B样条曲线转换为Bezier样条曲线有帮助吗？