計算幾何點集算法

Question

我必須針對以下問題設計運行時間為O（nlogn）的算法：

給定一組n個點的P，確定一個值A> 0，以使剪切變換（x，y）->（x + Ay，y）不會更改x坐標不相等的點的順序（沿x方向） 。

即使弄清楚從哪里開始，我也有很多困難。

任何幫助，將不勝感激！

謝謝！

Answer 1

我認為y = 0。

When x = 0, A > 0
(x,y) -> (x+Ay,y)
      -> (0+(A*0),0) = (0,0)
When x = 1, A > 0
(x,y) -> (x+Ay,y)
      -> (1+(A*0),0) = (1,0)

x坐標不相等（2,0），（3,0），（4,0）...因此，我認為起點可能是（0,0），x = 0。

Answer 2

假設所有x，y坐標均為正數。 （在不失一般性的情況下，可以添加偏移量。）在時間O（n log n）中，對點列表L進行排序，主要是按x坐標升序排列，其次按y坐標升序排列。 在時間O（n）中，過程點對（按L順序）如下。 令p，q為L中的任意兩個連續點，令px，qx，py，qy表示它們的x和y坐標值。 從那里開始，您只需要考慮幾種情況，顯然應該怎么做：如果px = qx，則什么也不做。 否則，如果py <= qy，則什么也不做。 其他（px> qx，py> qy）要求px + A * py <qx + A * qy， 即 （px-qx）/（py-qy）> A.

因此：依次遍歷L，找到px> qx和py> qy的所有點對都滿足的最大A'。 然后選擇一個比A'小一點的A值，例如A'/ 2。 （或者，如果問題的目的是找到最大的A，則只需報告A'值。）

Answer 3

好的，這是一種方法的粗略嘗試。

按x順序對點列表進行排序。 （這給出了O（nlogn）-以下所有步驟都是O（n）。）

生成一個新列表dx_i = x_（i + 1）-x_i，即x坐標之間的差。 當x_i被排序時，所有這些dx_i> = 0。

現在，對於某些A，變換后的dx_i（A）將為x_（i + 1）-x_i + A *（y_（i + 1）-y_i）。 如果為負數或零（x_（i + 1）（A）<x_i（A），則將有順序更改。

因此，對於每個dx_i，找到使dx_i（A）為零的A值，即A_i =-（x_（i + 1）-x_i）/（y_（i + 1）-y_i）。 現在，您有了一個系數列表，這些系數將“引起”連續（按x順序）的成對點之間的順序交換。 注意除以零，但是在兩個點具有相同的y的情況下，這些點將不會更改順序。 一些A_i將為負數，如果您希望A> 0，則將其丟棄。 （負A_i也會引發訂單交換，因此A> 0的要求有點隨意。）

在列表中找到最小的A_i> 0。 因此，任何0 <A <A_i（min）的A都是不會改變點順序的剪切。 選擇A_i（min），因為這將使兩個點指向相同的x，但不會彼此重疊。