在計算幾何中表示垂直線的好方法？

Question

我最近一直在用 C++ 做一個計算幾何相關的項目，並決定嘗試編寫我自己的幾何類/結構和函數，作為理解計算幾何如何工作的實踐。

剛開始時，我用斜率和 y 截距表示一條線（記住一般方程y = mx + c ）。 很快我意識到像這樣表示垂直線並不能真正奏效。 作為一種快速修復，我決定包含一個布爾值is_vertical以及另一個字段vertical_x （用於垂直線的 x 軸上的位置），它只被使用is_vertical為真。

雖然這種方法目前有效，但在使用上面指定的 2d 線表示時，必須編寫額外的代碼來處理垂直條件，這變得非常乏味。 有沒有一種好的/更好的方法來表示計算幾何中的垂直線或一般的線？

Answer 1

有很多方法可以表示計算機幾何中的線。

兩種主要方法：

正如評論中所說，線的一般方程是

a * x + b * y - c = 0

如果你有兩個點來定義一條線，那么系數是

a = (y1 - y2)
b = (x2 - x1)
c = (x2 * y1 - x1 * y2)

這種形式也便於確定 - 某個點屬於線的哪一側，以及用於查找線點距離。

參數方法也被廣泛使用。 線由基點和方向向量定義

Base = P1
Dir = P2 - P1  (mignt be normalized to get unit length)

請注意，歸一化方向矢量的分量本質上是 Fi 的余弦和正弦 - OX 和線之間的角度。

線上的任何點都可以使用參數t來描述

X(t) = X1 + t * Dir.X
Y(t) = Y1 + t * Dir.Y

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還有一個較少使用的Rho-Theta定義，它只需要兩個標量參數來定義任何線 - 從坐標原點到線的法線距離以及 OX 與該法線之間的角度：

x * Sin(Theta) - y * Cos(Theta) + p = 0

Answer 2

正如 Mbo 在他們的回答中指出的那樣，有幾種不同的方法可以用方程來表示直線。

一條線的一般方程的形式為A * x + B * y = C 。

如果您知道一條線不是垂直的，那么您可以使用簡化形式y = a * x + C （通過注意到B非零並讓a = - A/B從前面的等式中獲得）。

如果您知道一條線是垂直的，則可以使用簡化形式x = c （注意B = 0且A非零並讓c = C/A ）。

如果您知道一條線不是水平線，那么您可以使用簡化形式x = b * y + C 。

如果您知道一條線是水平的，那么您可以使用簡化形式y = c 。

由於您可以擁有所有這些不同的表示，因此在面向對象的程序中處理 line 的一種方法是編寫一個虛擬類Line ，然后編寫幾個子類 GeneralEquationLine、VerticalLine、NonVerticalLine、ParametricRepresentationLine 等。

大多數處理線條的函數不需要知道線條在內部是如何表示的，因此它們需要一個Line類的對象。 一些函數可能特定於非垂直線，因此需要類 NonVerticalLine 的對象（或者，類Line可能有一個返回 true 或 false 的方法isVertical ）。

如果可能，您還可以編寫函數將子類的實例轉換為另一個實例。