用python求解同時多元多項式方程

Question

編輯：我得到的方程式參考包含幾個錯誤。 我在這里修好了。 解決方案現在可能真的有意義！

當兩層流體流過地形時，取決於流速的相對大小和流體中的波速，存在許多不同的解決方案。

這些被稱為“超臨界”，“次臨界”和“關鍵”（前兩個我在這里稱為“超臨界”）。

以下等式定義了（h，U0）參數空間中臨界行為和臨界行為之間的界限：

我想消除d_1c （即我不在乎它是什么）並在(h, U_0)找到這些方程的解。

簡化因素：

• 我只需d_0 定 d_0答案
• 我不需要精確的解決方案 ，只需要解決方案曲線的概述，因此可以通過分析或數字方式解決。
• 我只想繪制區域（h，U0）=（0,0）到（0.5,1）。

我想用Enthought分配中的模塊來解決這個問題（numpy，scipy，sympy），但是真的不知道從哪里開始。 消除變量d1c確實讓我感到困惑。

這是python中的方程式：

def eq1(h, U0, d1c, d0=0.1):
    f = (U0) ** 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 3) + (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0) ** 3) - 1
    return f

def eq2(h, U0, d1c, d0=0.1):
    f = 0.5 * (U0) ** 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 2) - (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0) ** 2) + d1c + (h - d_0)
    return f

我期待一個有許多解決方案分支的解決方案（並不總是物理的，但不要擔心），看起來大致如下：

我該如何實現呢？

Answer 1

半正式地，您要解決的問題如下：給定d0，求解邏輯公式“存在d1c使得eq1（h，U0，d1c，d0）= eq2（h，U0，d1c，d0）=對於h和U0，為0“。

存在一種將公式簡化為多項式方程“P（h，U0）= 0”的算法，它被稱為“量詞消除”，它通常依賴於另一種算法“圓柱代數分解”。 不幸的是，這還沒有在sympy中實現。

但是，由於U0很容易被淘汰，因此您可以通過同情來找到答案。 從...開始

h, U0, d1c, d0 = symbols('h, U0, d1c, d0')
f1 = (U0) ** 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 3) + (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0 * h) ** 3) - 1
f2 = U0**2 / 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 2) + (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0 * h)) + d1c + d0 * (h - 1)

現在，從f1中消除U0並將值插入f2（我正在“手動”而不是使用solve（）來獲取更漂亮的表達式）：

U2_val = ((f1 + 1)/U0**2)**-1
f3 = f2.subs(U0**2, U2_val)

f3僅取決於h和d1c。 此外，由於它是一個有理分數，我們只關心它的分子何時變為0，因此我們得到2個變量中的單個多項式方程：

p3 = fraction(cancel(f3))

現在，對於給定的d0，您應該能夠以數字方式反轉p3.subs（d0，.1）以獲得h（d1c），將其插回U0並將（h，U0）的參數圖作為函數的函數D1C。

Answer 2

讓我先討論消除d1c 。 想象一下，你設法d1c = f(U, h, d0)第一個等式，得到d1c = f(U, h, d0) 。 然后你將它替換為第二個等式，並在U ， h和d0之間有一定的關系。 在d0固定的情況下，這為兩個變量U和h定義了一個方程，原則上，您可以從中找到任何給定h U 根據您的上一個草圖，這似乎是您所謂的解決方案。 壞消息是，從你的任何一個方程中得到d1c並不容易。 好消息是你不需要。

fsolve可以采用一個方程組，比如說兩個方程依賴於兩個變量並給出解決方案。 在這種情況下：修復h （ d0已經固定），並輸入到fsolve你擁有的系統，作為變量U0和d1c 。 記錄U0的值，重復下一個h值，依此類推。

請注意，與@duffymo的建議相反，我建議使用fsolve ，或者至少從它開始，並且只有在它耗盡時才尋找其他求解器。

一個可能的警告是，你希望在給定h為U0提供多個解決方案： fsolve需要一個初始猜測，並且沒有簡單的方法告訴它收斂到其中一個解決方案分支。 如果結果證明是一個問題，請查看brentq求解器。

另一種方法是觀察您可以輕松地從系統中消除U0 。 這樣你會得到一個方程的h和d1c ，解決它的d1c的每個值h ，然后用您的原始方程來計算U0給出d1c和h 。

使用fsolve一個例子：

>>> from scipy.optimize import fsolve
>>> def f(x, p):
...   return x**2 -p
... 
>>> fsolve(f, 0.5, args=(2,))
array([ 1.41421356])
>>> 

這里args=(2,)是告訴fsolve的語法，如果f(x,2)=0 ，你實際想要解決的是什么，而0.5是x值的起始猜測。

Answer 3

您可以使用Newton Raphson或BFGS等非線性求解器來求解同時的非線性方程。 他們對初始條件和對基礎的調節敏感，因此需要一些護理。