動態規划：最優二叉搜索樹

Question

好吧，我希望有人可以向我解釋一下。 我正在攻讀決賽，我無法解決一些問題。

問題是動態編程; 構造最優二叉搜索樹（OBST）。 我理解一般的動態編程和特別是這個問題的概念，但我不明白這個問題的遞歸形式。

我得到的是，我們正在為這些節點中不斷增加的子集構建最佳二叉搜索樹，並在我們繼續時將答案保存在表中以避免重新計算。 當你在a_ {k}根樹時，我也得到了這一點，所有來自a_ {1}到a_ {k-1}的成功節點以及它們對應的虛構不成功節點（即樹的葉子）都在左子樹，然后右子樹中的子樹是a_ {k + 1}到a_ {n}。

這是我不明白的等式的遞歸形式：

c（i，j）= min（i <k <= j）{c（i，k-1）+ c（k，j）+ p（k）+ w（i，k-1）+ w（k + J）}

其中w（i，j）= q（i）+從i + 1到j的總和（q（1）+ p（1））。

所以在c（i，j）中，從左到右，我們有左子樹的成本+右子樹的成本+成功搜索root + w（i，k-1）+ w（k + j）的概率。

我的困惑是c（i，k-1）與w（i，k-1）的區別。

文本是Horowitz，Sahni和Rajasekeran的計算機算法，但我也讀過OBST上的CLRS並在網上搜索，我所遇到的任何內容都沒有很好地解釋這些部分之間的差異。

Answer 1

c（i，j）表示搜索包含密鑰ki，...，kj的最優二叉搜索樹的預期成本。 w（i，j）表示包含密鑰ki，...，kj的子樹的概率和。 對於公式：

c(i, j) = min (i < k <= j) {c(i, k-1) + c(k, j) + p(k) + w(i, k-1) + w(k,j)}

如果我們選擇密鑰k作為根，則c（i，k-1）+ w（i，k-1）重新表示左子樹的成本。 c（k，j）+ w（k，j）表示右子樹的成本。 p（k）表示根k的成本。

請注意：如果我們選擇鍵k作為根，則左子樹包含鍵ki，...，k（k-1），右子樹包含kyes k（k + 1），...，kj 。 但我們不能簡單地說：

c(i,j)=min (i < k <= j) {c(i, k-1) + c(k, j) + p(k)}

因為當我們為根選擇密鑰k時，生成的子樹的深度加1.因此c（i，k-1）+ w（i，k-1）將是左子樹的正確成本！

Answer 2

這是計算特定深度的節點的頻率*深度的微妙方式。

每次將節點評估為根時，在總結其左（或右）子樹時，您將添加頻率總和以增加所有子節點的深度。

例如，假設節點'A'，'B'和'C'，其中'A'是根，'B'是'A'的子節點而'C'是'B'的子節點。 （沒有合適的孩子可以讓事情變得簡單。）

以自下而上的方式，以葉'C'為根：

cost is Pr(C) = freqC*1  (no children)

以'B'為根：

cost = Pr(B) + Cost[C,C] + sum of children freq 
     = freqB*1 + freqC*1 + freqC*1
     = freqB*1 + freqC*2 

where Pr(B) = freqB*1
     Cost[C,C] = freqC*1
     sum of children freq = freqC*1

最后，以'A'為根：

cost = Pr(A) + Cost[C,B] + sum of children freq 
     = freqA*1 + freqB*1 + freqC*2 + freqB*1 + freqC*1
     = freqA*1 + freqB*2 + freqC*3

where Pr(A) = freqA*1
     Cost[C,B] = freqB*1 + freqC*2
     sum of children freq = freqB*1 + freqC*1