動態編程幫助：二叉樹成本邊緣

Question

給定具有n個葉子和一組C顏色的二叉樹。 樹的每個葉節點都從集合C中獲得唯一的顏色。因此，沒有葉節點具有相同的顏色。 樹的內部節點是未着色的。 集合C中的每對顏色都有與之相關的成本。 因此，如果樹的邊緣連接了顏色為A和B的兩個節點，則邊緣成本為線對（A，B）的成本。 我們的目標是為樹的內部節點提供顏色，從而最小化樹的總邊緣成本。

我已經解決了這個問題幾個小時了，並沒有真正想出一個有效的解決方案。 任何提示將不勝感激。

Answer 1

我將使用偽代碼解決問題，因為我嘗試編寫解釋，即使我自己也無法理解。 希望代碼能夠解決問題。 我的解決方案的復雜性不是很好-在O（C ^ 2 * N）中存儲一個運行時。

我將需要幾個我將在動態方法中使用的數組：
dp [N][C][C] -> dp[i][j][k]如果以顏色j繪制它的父樹並以顏色着色，則可以從以節點i為根的樹上獲得的最高價格k
maxPrice[N][C] -> maxPrice[i][j]如果其父節點用顏色j上色，則可以從以節點i為根的樹上獲得的最高價格
color[leaf] - >葉片的顏色leaf
price[C][C] -> price[i][j]如果您有一對相鄰的顏色為i和j節點，則價格為chosenColor[N][C] -> chosenColor[i][j]應該為節點i選擇獲取maxPrice[i][j]

讓我們假設節點是使用拓撲排序排序的 ，即我們將處理第一片葉子。 在樹中進行拓撲排序非常容易。 讓排序給出內部節點inner_nodes的列表

for leaf in leaves:
   for i in 0..MAX_C, j in 0..MAX_C
       dp[leaf][i][j] = (i != color[leaf]) ? 0 : price[i][j]
   for i in 0..MAX_C,
       maxPrice[leaf][i] = price[color[leaf]][i]
       chosenColor[leaf][i] = color[leaf]
for node in inner_nodes
   for i in 0..MAX_C, j in 0..MAX_C
       dp[node][i][j] = (i != root) ? price[i][j] : 0
       for descendant in node.descendants
           dp[node][i][j] += maxPrice[descendant][i]
   for i in 0...MAX_C
       for j in 0...MAX_C
         if maxPrice[node][i] < dp[node][j][i]
             maxPrice[node][i] = dp[node][j][i]
             chosenColor[node][i] = j

for node in inner_nodes (reversed)
   color[node] = (node == root) ? chosenColor[node][0] : chosenColor[node][color[parent[node]]

Answer 2

作為一個起點，您可以使用貪婪的解決方案，它為您提供總成本的上限：

while the root is not colored
    pick an uncolored node having colored descendants only
        choose the color that minimizes the total cost to its descendants