动态规划：最优二叉搜索树

Question

好吧，我希望有人可以向我解释一下。 我正在攻读决赛，我无法解决一些问题。

问题是动态编程; 构造最优二叉搜索树（OBST）。 我理解一般的动态编程和特别是这个问题的概念，但我不明白这个问题的递归形式。

我得到的是，我们正在为这些节点中不断增加的子集构建最佳二叉搜索树，并在我们继续时将答案保存在表中以避免重新计算。 当你在a_ {k}根树时，我也得到了这一点，所有来自a_ {1}到a_ {k-1}的成功节点以及它们对应的虚构不成功节点（即树的叶子）都在左子树，然后右子树中的子树是a_ {k + 1}到a_ {n}。

这是我不明白的等式的递归形式：

c（i，j）= min（i <k <= j）{c（i，k-1）+ c（k，j）+ p（k）+ w（i，k-1）+ w（k + J）}

其中w（i，j）= q（i）+从i + 1到j的总和（q（1）+ p（1））。

所以在c（i，j）中，从左到右，我们有左子树的成本+右子树的成本+成功搜索root + w（i，k-1）+ w（k + j）的概率。

我的困惑是c（i，k-1）与w（i，k-1）的区别。

文本是Horowitz，Sahni和Rajasekeran的计算机算法，但我也读过OBST上的CLRS并在网上搜索，我所遇到的任何内容都没有很好地解释这些部分之间的差异。

Answer 1

c（i，j）表示搜索包含密钥ki，...，kj的最优二叉搜索树的预期成本。 w（i，j）表示包含密钥ki，...，kj的子树的概率和。 对于公式：

c(i, j) = min (i < k <= j) {c(i, k-1) + c(k, j) + p(k) + w(i, k-1) + w(k,j)}

如果我们选择密钥k作为根，则c（i，k-1）+ w（i，k-1）重新表示左子树的成本。 c（k，j）+ w（k，j）表示右子树的成本。 p（k）表示根k的成本。

请注意：如果我们选择键k作为根，则左子树包含键ki，...，k（k-1），右子树包含kyes k（k + 1），...，kj 。 但我们不能简单地说：

c(i,j)=min (i < k <= j) {c(i, k-1) + c(k, j) + p(k)}

因为当我们为根选择密钥k时，生成的子树的深度加1.因此c（i，k-1）+ w（i，k-1）将是左子树的正确成本！

Answer 2

这是计算特定深度的节点的频率*深度的微妙方式。

每次将节点评估为根时，在总结其左（或右）子树时，您将添加频率总和以增加所有子节点的深度。

例如，假设节点'A'，'B'和'C'，其中'A'是根，'B'是'A'的子节点而'C'是'B'的子节点。 （没有合适的孩子可以让事情变得简单。）

以自下而上的方式，以叶'C'为根：

cost is Pr(C) = freqC*1  (no children)

以'B'为根：

cost = Pr(B) + Cost[C,C] + sum of children freq 
     = freqB*1 + freqC*1 + freqC*1
     = freqB*1 + freqC*2 

where Pr(B) = freqB*1
     Cost[C,C] = freqC*1
     sum of children freq = freqC*1

最后，以'A'为根：

cost = Pr(A) + Cost[C,B] + sum of children freq 
     = freqA*1 + freqB*1 + freqC*2 + freqB*1 + freqC*1
     = freqA*1 + freqB*2 + freqC*3

where Pr(A) = freqA*1
     Cost[C,B] = freqB*1 + freqC*2
     sum of children freq = freqB*1 + freqC*1