具有頂點權重和邊緣運算的多邊形算法

Question

我正在考慮以下問題的算法（在carrercup上找到）：

給定具有N個頂點和N個邊的多邊形。 每個頂點都有一個int數（可能是負數），每個邊上有一個set（*，+）的運算。 每次，我們從多邊形中移除邊E，將由邊（V1，V2）鏈接的兩個頂點合並到具有值的新頂點：V1 op（E）V2。 最后一種情況是兩個帶有兩條邊的頂點，結果是較大的一個。 返回最大結果值可以從給定的多邊形獲得。

我想我們可以使用貪婪的方法。 即，對於具有k個邊的多邊形，找到一對（p，q），其在折疊時產生最大數量：（p，q）= max（{i operation j：i，j - 相鄰邊）

然后只需在多邊形上調用遞歸：1。讓函數CollapseMaxPair（P（k）） - 得到帶有k個邊的多邊形並返回帶有k-1邊的“折疊”多邊形2.然后我們的遞歸：

 P = P(N);
 Releat until two edges left
     P =  CollapseMaxPair( P )
 maxvalue = max ( two remained values)

你怎么看？

Answer 1

我在這里回答了這個問題： 谷歌訪談：找到多邊形的最大總和，並向我指出該問題與此問題重復。 既然沒有人完全回答這個問題，我也決定在這里添加這個答案。

正確識別（標記）后，這確實非常類似於矩陣乘法問題（為了快速完成，我將以什么順序乘以矩陣）。

這可以使用動態算法以多項式求解。

我將改為解決一個類似的，更經典的（和相同的）問題，給定一個帶有數字，加法和乘法的公式，括號的哪種方式給出最大值，例如6+1 * 2變為(6+1)*2超過6+(1*2) 。

讓我們將輸入a1 to an表示a1 to an實數，將o（1），... o（n-1）表示為*或+ 。 我們的方法將如下工作，我們將觀察子問題F（i，j），它代表a1，... aj的最大公式（在括號后）。 我們將創建一個這樣的子問題表，並觀察F（1，n）正是我們正在尋找的結果。

限定

F(i,j)

 - If i>j return 0 //no sub-formula of negative length
 - If i=j return ai // the maximal formula for one number is the number
 - If i<j return the maximal value for all m between i (including) and j (not included) of:
     F(i,m) (o(m)) F(m+1,j) //check all places for possible parenthasis insertion

這經歷了所有可能的選擇。 通過對大小n = ji的歸納來完成TProof的正確性並且非常簡單。

讓我們進行運行時分析：

如果我們不為較小的子問題動態保存值，則運行速度非常慢，但我們可以使此算法在O(n^3)執行相對較快

我們創建一個* n表T，其中索引i，j處的單元格包含F（i，j）填充F（i，i）和F（i，j），其中j小於i，在O（1）中完成每個單元格，因為我們可以直接計算這些值，然后我們對角線並填充F（i + 1，i + 1）（我們可以快速完成，因為我們已經知道遞歸公式中的所有先前值），我們重復這個n n對角線的時間（表格中的所有對角線）和填充每個單元格需要（O（n）），因為每個單元格都有O（n）個單元格，我們用O（n ^ 2）填充每個對角線，這意味着我們填充所有表中的O（n ^ 3）。 填寫完表后，我們顯然知道F（1，n）是你問題的解決方案。

現在回到你的問題

如果將多邊形轉換為n不同的公式（一個用於從每個頂點開始）並在其上運行公式值的算法，則可以獲得所需的值。

Answer 2

這是貪婪算法失敗的情況：

想象一下，你的多邊形是一個有頂點A，B，C，D（左上，右上，右下，左下）的正方形。 這給了我們邊（A，B），（A，D），（B，C）和（C，D）。

設權重為A = -1，B = -1，C = -1，D = 1,000,000。

A (-1) ------ B (-1)  
|             |  
|             |  
|             |  
|             |  
D(1000000) ---C (-1)  

顯然，最好的策略是崩潰（A，B），然后崩潰（B，C），這樣你就可以自己最終得到D. 但是，您的算法將以（A，D）或（D，C）開頭，這將不是最佳的。

結合最小總和的貪婪算法也有類似的弱點，所以我們需要考慮別的東西。

我開始看到我們想要嘗試將所有正數放在一邊，所有負數放在另一邊。

如果我們將初始多邊形完全視為一個狀態，那么我們可以想象所有可能的子狀態是后續圖形是邊緣被折疊。 這創建了一個樹狀結構。 BFS或DFS最終將為我們提供最佳解決方案，但代價是在最壞的情況下遍歷整個樹，這可能不如您所希望的那樣高效。

您正在尋找的是一種貪婪的最佳方法，可以搜索這棵樹，這種方法可以說是最佳的。 也許你可以通過它創建一個類似A *的搜索，雖然我不確定你的可接受啟發式是什么。

Answer 3

我不認為貪心算法有效。 令頂點為A = 0，B = 1，C = 2，並且邊緣為AB = a-5b，BC = b + c，CA = -20。 貪婪算法選擇BC首先評估，值3.然后AB，值，-15。 但是，有一個更好的序列可供使用。 首先評估AB，值-5。 然后評估BC，值-3。 我不知道有更好的算法。