在R中曲線擬合這些數據？

Question

有幾天我一直在研究這個問題而且我被困了......

我在R中執行了許多蒙特卡羅模擬，它給出了每個輸入x的輸出y，並且在x和y之間顯然有一些簡單的關系，所以我想確定公式及其參數。 但我似乎無法在“低x”和“高x”系列中獲得良好的整體擬合，例如使用這樣的對數：

dat = data.frame(x=x, y=y)
fit = nls(y~a*log10(x)+b, data=dat, start=list(a=-0.8,b=-2), trace=TRUE)

我也嘗試擬合（log10（x），10 ^ y），這給出了一個很好的擬合但反向變換不適合（x，y）。

誰能解決這個問題？

請解釋您是如何找到解決方案的。

謝謝！

編輯：

感謝所有快速反饋！

我不知道我正在模擬的理論模型，所以我沒有比較的基礎。 我根本不知道x和y之間的真實關系。 順便說一下，我不是統計學家。

基礎模型是一種隨機反饋增長模型。 我的目標是在給定輸入x> 0的情況下確定長期增長率g，因此系統的輸出在每次迭代中以1 + g的速率指數增長。 系統在每次迭代中根據系統的大小進行隨機生產，輸出一部分產量，其余部分保留在系統中，由另一個隨機變量確定。 從MC模擬我發現系統輸出的增長率對於每個測試過的x而言是對數正態分布的，而數據系列中的y是增長率g的對數。 當x走向無窮大時，g趨向於零。 隨着x走向零，g走向無窮大。

我想要一個可以從x計算y的函數。 我實際上只需要一個低x的函數，比如說，在0到10的范圍內。我能夠很好地擬合y = 1.556 * x ^ -0.4 -3.58，但它不適合大x。 我想要一個通用的所有x> 0的函數。 我也嘗試過Spacedman的poly fit（謝謝！）但是它在x = 1到6的關鍵范圍內並不合適。

有任何想法嗎？

編輯2：

我已經嘗試了一些，還有Grothendieck的詳細建議（謝謝！）經過一些考慮我決定，因為我沒有理論基礎來選擇一個函數而不是另一個函數，而且我很可能只對x-感興趣在1和6之間的值，我應該使用一個非常適合的簡單函數。 所以我只使用y~a * x ^ b + c並記下它不適合高x。 在論文的第一稿完成后，我可以再次尋求社區的幫助。 一旦你看到蒙特卡洛模型，也許你們中的一個人可以發現x和y之間的理論關系。

再次感謝！

低x系列：

      x          y
1   0.2 -0.7031864
2   0.3 -1.0533648
3   0.4 -1.3019655
4   0.5 -1.4919278
5   0.6 -1.6369545
6   0.7 -1.7477481
7   0.8 -1.8497117
8   0.9 -1.9300209
9   1.0 -2.0036842
10  1.1 -2.0659970
11  1.2 -2.1224324
12  1.3 -2.1693986
13  1.4 -2.2162889
14  1.5 -2.2548485
15  1.6 -2.2953162
16  1.7 -2.3249750
17  1.8 -2.3570141
18  1.9 -2.3872684
19  2.0 -2.4133978
20  2.1 -2.4359624
21  2.2 -2.4597122
22  2.3 -2.4818787
23  2.4 -2.5019371
24  2.5 -2.5173966
25  2.6 -2.5378936
26  2.7 -2.5549524
27  2.8 -2.5677939
28  2.9 -2.5865958
29  3.0 -2.5952558
30  3.1 -2.6120607
31  3.2 -2.6216831
32  3.3 -2.6370452
33  3.4 -2.6474608
34  3.5 -2.6576862
35  3.6 -2.6655606
36  3.7 -2.6763866
37  3.8 -2.6881303
38  3.9 -2.6932310
39  4.0 -2.7073198
40  4.1 -2.7165035
41  4.2 -2.7204063
42  4.3 -2.7278532
43  4.4 -2.7321731
44  4.5 -2.7444773
45  4.6 -2.7490365
46  4.7 -2.7554178
47  4.8 -2.7611471
48  4.9 -2.7719188
49  5.0 -2.7739299
50  5.1 -2.7807113
51  5.2 -2.7870781
52  5.3 -2.7950429
53  5.4 -2.7975677
54  5.5 -2.7990999
55  5.6 -2.8095955
56  5.7 -2.8142453
57  5.8 -2.8162046
58  5.9 -2.8240594
59  6.0 -2.8272394
60  6.1 -2.8338866
61  6.2 -2.8382038
62  6.3 -2.8401935
63  6.4 -2.8444915
64  6.5 -2.8448382
65  6.6 -2.8512086
66  6.7 -2.8550240
67  6.8 -2.8592950
68  6.9 -2.8622220
69  7.0 -2.8660817
70  7.1 -2.8710430
71  7.2 -2.8736998
72  7.3 -2.8764701
73  7.4 -2.8818748
74  7.5 -2.8832696
75  7.6 -2.8833351
76  7.7 -2.8891867
77  7.8 -2.8926849
78  7.9 -2.8944987
79  8.0 -2.8996780
80  8.1 -2.9011012
81  8.2 -2.9053911
82  8.3 -2.9063661
83  8.4 -2.9092228
84  8.5 -2.9135426
85  8.6 -2.9101730
86  8.7 -2.9186316
87  8.8 -2.9199631
88  8.9 -2.9199856
89  9.0 -2.9239220
90  9.1 -2.9240167
91  9.2 -2.9284608
92  9.3 -2.9294951
93  9.4 -2.9310985
94  9.5 -2.9352370
95  9.6 -2.9403694
96  9.7 -2.9395336
97  9.8 -2.9404153
98  9.9 -2.9437564
99 10.0 -2.9452175

高x系列：

              x         y
1  2.000000e-01 -0.701301
2  2.517851e-01 -0.907446
3  3.169786e-01 -1.104863
4  3.990525e-01 -1.304556
5  5.023773e-01 -1.496033
6  6.324555e-01 -1.674629
7  7.962143e-01 -1.842118
8  1.002374e+00 -1.998864
9  1.261915e+00 -2.153993
10 1.588656e+00 -2.287607
11 2.000000e+00 -2.415137
12 2.517851e+00 -2.522978
13 3.169786e+00 -2.621386
14 3.990525e+00 -2.701105
15 5.023773e+00 -2.778751
16 6.324555e+00 -2.841699
17 7.962143e+00 -2.900664
18 1.002374e+01 -2.947035
19 1.261915e+01 -2.993301
20 1.588656e+01 -3.033517
21 2.000000e+01 -3.072003
22 2.517851e+01 -3.102536
23 3.169786e+01 -3.138539
24 3.990525e+01 -3.167577
25 5.023773e+01 -3.200739
26 6.324555e+01 -3.233111
27 7.962143e+01 -3.259738
28 1.002374e+02 -3.291657
29 1.261915e+02 -3.324449
30 1.588656e+02 -3.349988
31 2.000000e+02 -3.380031
32 2.517851e+02 -3.405850
33 3.169786e+02 -3.438225
34 3.990525e+02 -3.467420
35 5.023773e+02 -3.496026
36 6.324555e+02 -3.531125
37 7.962143e+02 -3.558215
38 1.002374e+03 -3.587526
39 1.261915e+03 -3.616800
40 1.588656e+03 -3.648891
41 2.000000e+03 -3.684342
42 2.517851e+03 -3.716174
43 3.169786e+03 -3.752631
44 3.990525e+03 -3.786956
45 5.023773e+03 -3.819529
46 6.324555e+03 -3.857214
47 7.962143e+03 -3.899199
48 1.002374e+04 -3.937206
49 1.261915e+04 -3.968795
50 1.588656e+04 -4.015991
51 2.000000e+04 -4.055811
52 2.517851e+04 -4.098894
53 3.169786e+04 -4.135608
54 3.990525e+04 -4.190248
55 5.023773e+04 -4.237104
56 6.324555e+04 -4.286103
57 7.962143e+04 -4.332090
58 1.002374e+05 -4.392748
59 1.261915e+05 -4.446233
60 1.588656e+05 -4.497845
61 2.000000e+05 -4.568541
62 2.517851e+05 -4.628460
63 3.169786e+05 -4.686546
64 3.990525e+05 -4.759202
65 5.023773e+05 -4.826938
66 6.324555e+05 -4.912130
67 7.962143e+05 -4.985855
68 1.002374e+06 -5.070668
69 1.261915e+06 -5.143341
70 1.588656e+06 -5.261585
71 2.000000e+06 -5.343636
72 2.517851e+06 -5.447189
73 3.169786e+06 -5.559962
74 3.990525e+06 -5.683828
75 5.023773e+06 -5.799319
76 6.324555e+06 -5.929599
77 7.962143e+06 -6.065907
78 1.002374e+07 -6.200967
79 1.261915e+07 -6.361633
80 1.588656e+07 -6.509538
81 2.000000e+07 -6.682960
82 2.517851e+07 -6.887793
83 3.169786e+07 -7.026138
84 3.990525e+07 -7.227990
85 5.023773e+07 -7.413960
86 6.324555e+07 -7.620247
87 7.962143e+07 -7.815754
88 1.002374e+08 -8.020447
89 1.261915e+08 -8.229911
90 1.588656e+08 -8.447927
91 2.000000e+08 -8.665613

Answer 1

如果不了解底層過程，您也可以根據需要使用多項式來擬合多項式。 你似乎沒有測試一個假設（例如，引力強度與距離成反平方關系）所以你可以捕獲所有你喜歡的函數形式，數據不太可能告訴你哪一個是'正確的'。

因此，如果我將數據讀入包含x和y組件的數據框，我可以這樣做：

data$lx=log(data$x)
plot(data$lx,data$y) # needs at least a cubic polynomial 
m1 = lm(y~poly(lx,3),data=data) # fit a cubic
points(data$lx,fitted(m1),pch=19)

和裝配點非常接近。 將多項式度數從3更改為7，並且這些點是相同的。 這是否意味着您的Y值實際上來自X值的7次多項式？ 不，但是你有一條曲線可以通過積分。

在這個比例下，你也可以用直線連接相鄰的點，你的情節是如此順利。 但是，如果沒有潛在理論為什么Y依賴於X（就像一個平方反比定律，或指數增長，或者某種東西），你所做的就是加入點，並且有無限的方法可以做到這一點。

Answer 2

回歸x / y與x對於低數據繪制y與x的關系並且稍微玩一下似乎x/y在x近似為線性，因此嘗試將x/y對x進行回歸，這給出了僅基於兩個參數的關系：

y = x / (a + b * x)

其中a和b是回歸系數。

> lm(x / y ~ x, lo.data)

Call:
lm(formula = x/y ~ x, data = lo.data)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    -0.1877      -0.3216  

MM.2以上內容可以轉換為drc R包中的MM.2模型。 如下所示，該模型具有高R ² 。 此外，我們計算了可用於與其他模型進行比較的AIC（越低越好）：

> library(drc)
> fm.mm2 <- drm(y ~ x, data = lo.data, fct = MM.2())
> cor(fitted(fm.mm2), lo.data$y)^2
[1] 0.9986303
> AIC(fm.mm2)
[1] -535.7969

CRS.6這表明我們嘗試了一些其他drc模型和我們嘗試過的CRS.6具有特別低的AIC並且看起來很適合視覺：

> fm.crs6 <- drm(y ~ x, data = lo.data, fct = CRS.6())
> AIC(fm.crs6)
[1] -942.7866
> plot(fm.crs6) # see output below

這給我們提供了一系列我們可以從2參數MM.2模型中使用的模型，它不如MM.2的擬合（根據AIC），但仍然非常適合並且只有兩個參數或6參數CRS.6模型及其優越的AIC。 請注意，AIC已經因為擁有更多參數而對模型進行處罰，因此具有更好的AIC並不是具有更多參數的結果。

其他如果它認為低和高應該具有相同的模型形式，那么找到適合低井和高井的單個模型形式可以用作挑選模型形式的另一標准。 除了drc模型之外，在Akbar等人的IRJFE，2010的 （2.1），（2.2），（2.3）和（2.4）中也有一些屈服密度模型看起來類似於MM.2模型。受審。

更新：在drc包裝周圍重新設計。