如何设计时间复杂度为O（n log n）的搜索算法？

Question

描述一个O（n log n）时间算法，给定一组S个n个整数和另一个整数x ，确定在S中是否存在两个元素的总和恰好是x。

我正在计划使用二进制搜索。

ALGORITHM(S,x)
S=Insertion-Sort()
for i=1 to S.length
   n=x-S[i]
   if( Binary-Search(S,n) == true)
      return { S[i],n }


Binary-Search(A, v)
low=1
high=A.length

while low ≤ high
   mid=(low+high)/2

   if v = A[mid]
     return mid
   if v > A[mid]  
      low ← mid+1
   else
      high ← mid−1
 return NIL 

如何找到该算法的时间复杂度？ 如果T（n）不是（n log n） ，那么正确的算法是什么？

Answer 1

算法的总体顺序由各个部分的最高顺序决定。 您从最坏情况下的性能为O（n ^ 2）的插入排序开始，因此您已经失败了。

如果要用O（n log n）版本替换排序算法，则必须看看还剩下什么。 您有一个长度为n的单循环， 其中有一个调用二进制搜索的主体。 正确编码的二进制搜索为O（log n），因此结果应为O（n log n）。 将两个O（n log n）进程相加仍然会留下O（n log n）。

还有另一种更快的方法可以执行第二步，但我将留给您发现。 这不会影响整体结果。

Answer 2

正如其他答案所指出的那样，您可以首先使用O（n log n）排序，然后在每个元素O（log n）中搜索每个元素的补数，从而得出O（n log n） ） 总体。

但是，我认为您也可以执行以下操作来获得O（n）算法。

请注意，如果两个数字的总和为x，则其中一个必须>> x / 2，另一个必须为<= x / 2。 因此，用枢轴x / 2将数组分为两部分，一个更大，另一个更小。 这需要O（n）时间。 如果有多个元素的值x / 2，则操作完成。

现在为下部数组中的所有元素i生成xi的哈希表。 这又需要O（n）时间。

现在，在每次查询中以固定的时间搜索哈希表中高位数组中的每个元素。 因此，这也是O（n）。

因此，总体复杂度为O（n）。

Answer 3

对于每个元素i ：

• 如果xi在哈希表中，我们有和（ i和xi ）
• 将i插入哈希表。

总运行时间O(n) 。