在COQ中将集合用作假设和目标

Question

怎样才能像下面这样证明？

1 subgoals
IHt1 : {t' : some_type | something_using t'}
IHt2 : {t' : some_type | something_else_using t'}
______________________________________(1/1)
{t' : some_type | another_thing_involving t'}

我确实知道{x|P x}表示法是sig定义的简写，但我真的不明白如何使用它。

Answer 1

{x : D | P x} {x : D | P x}直觉上说，域D的子集包含满足谓词P的元素。 作为一个命题，如果那个子集是非空的，即在D有一个见证人x0使得P x0为真，则为真。

{x : D | P x}类型的对象 {x : D | P x}是一对包含元素x0 : D和P x0的证明的对。 当您查看{x : D | P x}的定义时，这是可见的{x : D | P x} {x : D | P x} ，这是sig (fun x:D => P x)语法糖sig (fun x:D => P x)

Inductive sig (D:Type) (P:D -> Prop) : Type :=
    exist : forall x:D, P x -> sig P.

构造函数的类型是从属对类型。 该对中的第一个元素具有类型D ，第二个元素具有类型P x ，其中x是第一个元素。

利用形式{x : D | P x} {x : D | P x} ，最基本的方法是使用destruct策略将其分解为两个部分：见证x0 : D和证明H : P x0 。

destruct IHt1.

1 subgoals
t' : some_type
H : something_using t'
IHt2 : {t'0 : some_type | something_else_using t'0}
______________________________________(1/1)
{t'0 : some_type | another_thing_involving t'0}

证明目标的形式为{x : D | P x} {x : D | P x} ，最基本的是使用exist策略来介绍预期的证人。 这留下了一个子目标，以证明证人具有所需的财产。

exists u.

⋮
______________________________________(1/1)
another_thing_involving u