抽引引理以显示`{a ^ nb ^ m | n = km对于N中的k是不规则的

Question

我应该如何证明L={a^nb^m | n=km for k in N} L={a^nb^m | n=km for k in N}不是使用抽水引理的常规语言？

我首先在L取一个词w ，对于N一些k ， w=a^nb^m ， n=km 。 w有三种可能的分解：

1. a^i * a^j * a^(nij) b^m
2. a^i * a^(ni) b^j * b^(mj)
3. a^nb^i * b^j * b^(mij)

在点2）中抽取中间部分将导致单词混淆，这显然不在L ，但我不知道为什么1）无法给您带来良好的分解：

假设您将a^j抽a^j x次。 那么新单词中a的数量将为i+xj+nij = n+(x-1)j 。 我们知道n=km大约m 。 我们必须证明存在x使得新单词不在L 。 但是让我们假设j=m （这当然是可能的，因为n=km总是有足够数量的a，除了k=0 ，但是得到的情况很简单）。 则n+(x-1)j = km+(x-1)m = m(n+x-1) ，形式为{a^nb^m | n=km for k in N} 对于所有x {a^nb^m | n=km for k in N} 。 因此，对于每个w我们都有一个分解uvz ，使得uv^iz对于所有i都在L中。 因此，通过抽运引理， L是规则的。

我想念什么？

编辑：给出抽水引理的公式：

令L为DFA接受k个状态的常规语言。 令w为L中长度>= k任何单词。 然后可以用|uv| <=k将w编写为uvz |uv| <=k 所有i>=0 |uv| <=k ， v>0和L uv^iz

Answer 1

一种可能更简单的证明方法是首先修改语言。

由于正则语言在补码和与另一个正则表达式的交集下是封闭的 。

这意味着，你可以证明L是不是证明一个正规语言complement(L)是不是一个正规的语言，因为如果L'是一个普通的语言， L的，反之亦然。 交叉口也是如此。

足以证明L'也不规则：

L' = intersection(complement(L),a*b*})

从而

L'={a^nb^m|n != k*m, for any k in N}

然后，证明就变得更加容易了，因为您可以显示用作抽出引理的任何部分，如果长度为l ，则可以抽出足够的次数以达到倍数。