这个循环的时间复杂度是多少？

Question

如何确定此循环的时间复杂度：

for(int i = N-1; i >= 0; i--)
{
    for(int j = 1; j <= i; j++)
    {
        if(numbers[j-1] > numbers[j])
        {
            temp = numbers[j-1];
            numbers[j-1] = numbers[j];
            numbers[j] = temp;
        }
    }
}

您可能已经注意到，这是气泡排序算法。 用于比较和分配的该算法的频率计数也相同吗？

Answer 1

计算复杂度

您需要添加正在执行的基本操作 / 机器指令 。 （取决于输入大小）

计算

for(int i = N-1; i >= 0; i--)
{          |        |     |
           c1       c2    c3
   for(int j = 1; j <= i; j++)
   {       |        |     |
           c4       c5    c6
      if(numbers[j-1] > numbers[j])--c7
      {
         temp = numbers[j-1];
         numbers[j-1] = numbers[j];
         numbers[j] = temp;
      }
   }
}

c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7是执行与这些构造相对应的机器指令的成本（例如i> = 0，j <= i等）

Now for i=N-1 the innerloop is executed N-1 times
    for i=N-2 the innerloop is executed N-2 times
    ....

    for i=0 the innerloop is executed 0 times

因此执行内循环(N-1)+(N-2)+...1+0次= N *（N-1）/ 2

Look carefully the cost is
 = c1+ c2*(N+1) + c3*N+ c4*N+((N*(N-1)/2)+1)*(c5)+ (N(N-1)/2)*(c6+c7);
 = c1+c2+c5+ N*(c2+c3-(c5+c6+c7)/2) + N^2 * (c5/2 + c6/2 + c7/2)
 = c8 + N*c9 + N^2 *(c10)   [c8,c9,c10 are constants]

为什么我们将N + 1与c2相乘？ 那是因为实际上i=-1时最后一次检查。

现在，对于较大的N值，N ^ 2占主导地位。因此，时间复杂度为O（N ^ 2）。 因此， T（N）= O（N ^ 2）

Answer 2

对于最佳情况和最坏情况，当前实现的复杂度均为O（n ^ 2），如果仅计算比较，仅计算赋值或同时计算这两者，则其复杂度相同。

以下是详细的计算，K是一个常数，具体取决于您要考虑时间复杂度的哪些运算：

如果您想要一种更高效的冒泡排序算法，请在Wiki页面上查看伪代码或此答案 ，您会发现O（n）最佳情况复杂度的算法。