如何实现快速傅里叶变换来关联两个2d阵列？

Question

我想用更大的数组来做这个，但为了让我能理解它，我将使用一个更小的例子。

假设我有以下数组：

    A = [[0, 0, 100],
         [0, 0, 0],
         [0, 0, 0]] 

如果我想通过乘以相应的条目来计算此数组与另一个数组的相关性。 例如，A * A将等于A（1 * 1 = 1，其他地方为零）。 我读到快速傅里叶变换可以用来加速大型阵列。 根据我的阅读，我得到的印象是，如果我想将两个数组A和B相乘，就像在A * B中一样，我可以使用以下内容（在python中使用numpy）更快地完成：

a = np.conj(np.fft.fftn(A))
b = np.fft.fftn(B)
c = np.fft.ifft(a*b)

因此，实际上，取A的fft，取B的fft，乘以两个结果，然后得到该结果的倒数。 但是，我用上面给出的A的情况尝试了它，乘以它自己。 我曾希望反向乘法会给我

[[0, 0, 10000],
 [0, 0, 0    ],
 [0, 0, 0    ]]

然而，我有点不同，更接近

[[10000, 0, 0],
 [10000, 0, 0],
 [10000, 0, 0]]

有谁知道发生了什么？ 对不起，我猜我有一些关于fft的误解。

Answer 1

您应该使用scipy.signal.fftconvolve 。

它已经实施并经过广泛测试，特别是在处理边界方面。 在2D中从卷积到相关运算符所需的唯一额外步骤是将滤波器阵列旋转180°（参见本答案 ）。

Answer 2

如果必须实现自己的，则应注意频域中的乘法对应于时域中的循环卷积 。 要获得所需的线性卷积，您需要用零填充两个数组，其长度至少是原始矩阵^1的两倍：

s = [2*x for x in np.shape(A)]
a = np.conj(np.fft.fftn(A,s))
b = np.fft.fftn(B,s)
c = np.fft.ifftn(a*b)

_{严格来说， ¹的大小为2n-1（而不是2n），但是当操作尺寸为小素因子的倍数时，FFT往往表现更好。}