如何實現快速傅里葉變換來關聯兩個2d陣列？

Question

我想用更大的數組來做這個，但為了讓我能理解它，我將使用一個更小的例子。

假設我有以下數組：

    A = [[0, 0, 100],
         [0, 0, 0],
         [0, 0, 0]] 

如果我想通過乘以相應的條目來計算此數組與另一個數組的相關性。 例如，A * A將等於A（1 * 1 = 1，其他地方為零）。 我讀到快速傅里葉變換可以用來加速大型陣列。 根據我的閱讀，我得到的印象是，如果我想將兩個數組A和B相乘，就像在A * B中一樣，我可以使用以下內容（在python中使用numpy）更快地完成：

a = np.conj(np.fft.fftn(A))
b = np.fft.fftn(B)
c = np.fft.ifft(a*b)

因此，實際上，取A的fft，取B的fft，乘以兩個結果，然后得到該結果的倒數。 但是，我用上面給出的A的情況嘗試了它，乘以它自己。 我曾希望反向乘法會給我

[[0, 0, 10000],
 [0, 0, 0    ],
 [0, 0, 0    ]]

然而，我有點不同，更接近

[[10000, 0, 0],
 [10000, 0, 0],
 [10000, 0, 0]]

有誰知道發生了什么？ 對不起，我猜我有一些關於fft的誤解。

Answer 1

您應該使用scipy.signal.fftconvolve 。

它已經實施並經過廣泛測試，特別是在處理邊界方面。 在2D中從卷積到相關運算符所需的唯一額外步驟是將濾波器陣列旋轉180°（參見本答案 ）。

Answer 2

如果必須實現自己的，則應注意頻域中的乘法對應於時域中的循環卷積 。 要獲得所需的線性卷積，您需要用零填充兩個數組，其長度至少是原始矩陣^1的兩倍：

s = [2*x for x in np.shape(A)]
a = np.conj(np.fft.fftn(A,s))
b = np.fft.fftn(B,s)
c = np.fft.ifftn(a*b)

_{嚴格來說， ¹的大小為2n-1（而不是2n），但是當操作尺寸為小素因子的倍數時，FFT往往表現更好。}