Python：如何對“非結構化”二維傅立葉變換數據進行插值

Question

我的目標是對函數的離散連續2D傅里葉變換進行插值。 問題似乎在於，每個維度中的頻率都沒有嚴格按升序輸出（請參閱此處 ）。

fft.fft2函數接受一個2D數組，在本例中，該數組（我們將其稱為A ）的結構使得A[i][j] = fun(x[i], y[j]) ， fun為要轉換的功能。 將fft.fft2應用於A ，輸出的數組F的尺寸與原始數組的尺寸相同，因此對應於F[i][j]的頻率坐標為(w_x[i], w_y[j]) ，其中w_x = fft.fftfreq(F.shape[0])和w_y = fft.fftfreq(F.shape[1]) ，這兩個都是一維數組，並且不按升序排列。

在wx和wy我想對F （例如對函數finterp ）進行插值finterp(w_x, w_y)在調用finterp(w_x, w_y) ， w_x和w_y在wx和wy范圍內時返回插值。 。 我研究了scipy.interpolate提供的各種插值方法 ，但是在我看來，它們中的任何一個都不能處理這種類型的數據結構（坐標軸被定義為無序的一維數組和函數值在2D數組中）。

這有點抽象，因此在這里我組成了一個簡單的示例，其結構與上述類似。 假設我們希望在給定以下數據的情況下y = [-1, 1]在x = [-1, 1]和y = [-1, 1] x = [-1, 1]的區域上構造一個連續函數f(x, y) = x + y ：

import numpy as np

# note that below z[i][j] corresponds to what we want f(x[i], y[j]) to be

x = np.array([0, 1, -1])
y = np.array([0, 1, -1])
z = np.array([0, 1, -1],[1, 2, 0],[-1, 0, -2])

我們知道z[i][j]對應於在x[i], y[j]處求值的函數。 （a）在給定其原始結構的情況下如何直接對該數據進行插值，或者（b）重新排列數據以使x和y升序，而排列的z使得z[i][j]等於到在重新排列的x[i], y[j]處求值的函數？

Answer 1

以下代碼顯示如何使用fftshift更改fft2和fftfreq的輸出，從而使頻率軸單調遞增。 應用fftshift ，可以使用數組進行插值。 我添加了數組的顯示，以便您可以驗證數據本身是否不變。 原點從數組的左上角移到數組的中間，將負頻率從右側移到左側。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pp

x = np.array([0, 1, -1])
y = np.array([0, 1, -1])
z = np.array([[0, 1, -1],[1, 2, 0],[-1, 0, -2]])
f = np.fft.fft2(z)
w_x = np.fft.fftfreq(f.shape[0])
w_y = np.fft.fftfreq(f.shape[1])

pp.figure()
pp.imshow(np.abs(f))
pp.xticks(np.arange(0,len(w_x)), np.round(w_x,2))
pp.yticks(np.arange(0,len(w_y)), np.round(w_y,2))

f = np.fft.fftshift(f)
w_x = np.fft.fftshift(w_x)
w_y = np.fft.fftshift(w_y)

pp.figure()
pp.imshow(np.abs(f))
pp.xticks(np.arange(0,len(w_x)), np.round(w_x,2))
pp.yticks(np.arange(0,len(w_y)), np.round(w_y,2))
pp.show()

---

一種替代方法是不使用fftfreq來確定您的頻率，而是手動計算它們。 默認情況下，FFT計算k=[0..N-1]的DFT。 由於周期性， k處的DFT等於k+N和kN處的DFT時，其輸出通常被解釋為具有k=[N//2...(N-1)//2] （但排列不同以匹配k=[0..N-1] ）； 這是fftfreq返回的k （返回k/N ）。

因此，您可以說

N = f.shape[0]
w_x = np.linspace(0, N, N, endpoint=False) / N

現在，您沒有任何負頻率，而是具有[0,N-1]/N范圍內的頻率。