Matlab-最小二乘数据拟合-具有额外约束的成本函数

Question

我目前正在按照本文介绍的方法，对一些MatLab代码进行处理，以使实验数据适合指数总和。

根据该论文，数据必须遵循以下方程式（用伪代码编写）：

y = sum(v(i)*exp(-x/tau(i)),i=1..n)

tau(i)是一组n预定义常数。 常数的数量还决定了求和的大小，因此也决定了v的大小。 例如，我们可以尝试拟合100个指数的总和，每个指数的tau(i)不同。 但是，由于拟合和指数和的性质，我们需要为该问题添加另一个约束，从而需要为所使用的最小二乘法的成本函数添加约束。

通常，最小二乘法的成本函数由下式给出：

(y_data - sum(v(i)*exp(-x/tau(i)),i=1..n)^2

这必须最小化。 但是，为防止过度拟合会使时间常数频谱变得非常嘈杂，本文在成本函数中添加了以下约束：

|v(i) - v(i+1)|^2

据我所知，由于这种额外的约束，像lsqcurvefit这样的常规算法不再可用，并且我必须使用fminsearch来搜索具有约束的最小二乘成本函数的最小值。 据我说，必须最小化的功能如下：

(y_data - sum(v(i)*exp(-x/tau(i)),i=1..n)^2 + sum(|v(j) - v(j+1)|^2,j=1..n-1)

下面是我在MatLab中编写代码的尝试。 最初，我们在函数脚本中定义函数，然后使用fminsearch实际最小化函数并获取v值。

function res = funcost( v )
%FUNCOST Definition of the function that has to be minimised

%We define a function yvalues with 2 exponentials with known time-constants
% so we know the result that should be given by minimising.
xvalues = linspace(0,50,10000);
yvalues = 3-2*exp(-xvalues/1)-exp(-xvalues/10);

%Definition of 30 equidistant point in the logarithmic scale  
terms = 30;
termsvector = [1:terms];
tau = termsvector;
for i = 1:terms
    tau(i) = 10^(-1+3/terms*i);
end

%Definition of the regular function
res_1 = 3;

for i=1:terms
    res_1 =res_1+ v(i).*exp(-xvalues./tau(i));
end

res_1 = res_1-yvalues;

%Added constraint
k=1;
res_2=0;

for i=1:terms-1
    res_2 = res_2 + (v(i)-v(i+1))^2;
end

res=sum(res_1.*res_1) + k*res_2;

end

fminsearch(@funcost,zeros(30,1),optimset('MaxFunEvals',1000000,'MaxIter',1000000))

但是，这段代码给我带来了不正确的结果（没有错误，只是不准确的结果），这使我相信我在编码或对最小二乘法的附加约束的解释中都犯了错误。

Answer 1

我将尝试通过以下方式介绍其他约束：

res_2 = max((v(1:(end-1))-v(2:end)).^2);

例如，它没有最小化积分（累加）错误，而是最小最大值。

您还可以通过以下方式使此约束更严格

if res_2 > some_number
    k = a_very_big_number;
else
    k=0; % or k = a_small_number
end;