向量插值的矩阵向量乘法 - Python

Question

我已经使用有限元方法来近似拉普拉斯方程 因此把它变成了一个矩阵系统AU = F，其中A是刚度向量并求解为U（对我的问题来说并不重要）。

我现在得到了我的逼近U，当我发现AU时我应该得到向量F（或至少类似），其中F是：

AU给出了x = 0到x = 1的以下图（例如，对于20个节点）：

然后我需要将U插值为更长的向量并找到AU（对于更大的A也是如此，但不是插值）。 我通过以下内容插入U：

U_inter = interp1d(x,U)
U_rich = U_inter(longer_x)

这似乎工作正常，直到我将它与较长的A矩阵相乘：

似乎每个尖峰都在x的节点（即原始U的节点）。 有人知道是什么原因引起的吗？ 以下是我找到A，U和F的代码。

import numpy as np
import math
import scipy
from scipy.sparse import diags
import scipy.sparse.linalg
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

def Poisson_Stiffness(x0):
    """Finds the Poisson equation stiffness matrix with any non uniform mesh x0"""

    x0 = np.array(x0)
    N = len(x0) - 1 # The amount of elements; x0, x1, ..., xN

    h = x0[1:] - x0[:-1]

    a = np.zeros(N+1)
    a[0] = 1 #BOUNDARY CONDITIONS
    a[1:-1] = 1/h[1:] + 1/h[:-1]
    a[-1] = 1/h[-1]
    a[N] = 1 #BOUNDARY CONDITIONS

    b = -1/h
    b[0] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    c = -1/h
    c[N-1] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS: DIRICHLET

    data = [a.tolist(), b.tolist(), c.tolist()]
    Positions = [0, 1, -1]
    Stiffness_Matrix = diags(data, Positions, (N+1,N+1))

    return Stiffness_Matrix

def NodalQuadrature(x0):
    """Finds the Nodal Quadrature Approximation of sin(pi x)"""

    x0 = np.array(x0)
    h = x0[1:] - x0[:-1]
    N = len(x0) - 1

    approx = np.zeros(len(x0))
    approx[0] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    for i in range(1,N):
        approx[i] = math.sin(math.pi*x0[i])
        approx[i] = (approx[i]*h[i-1] + approx[i]*h[i])/2

    approx[N] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    return approx

def Solver(x0):

    Stiff_Matrix = Poisson_Stiffness(x0)

    NodalApproximation = NodalQuadrature(x0)
    NodalApproximation[0] = 0

    U = scipy.sparse.linalg.spsolve(Stiff_Matrix, NodalApproximation)

    return U

x = np.linspace(0,1,10)
rich_x = np.linspace(0,1,50)
U = Solver(x)
A_rich = Poisson_Stiffness(rich_x)
U_inter = interp1d(x,U)
U_rich = U_inter(rich_x)
AUrich = A_rich.dot(U_rich)
plt.plot(rich_x,AUrich)
plt.show()

Answer 1

评论1：

我添加了一个Stiffness_Matrix = Stiffness_Matrix.tocsr()语句以避免效率警告。 有限元计算非常复杂，我必须打印出一些中间值才能确定正在发生的事情。

评论2：

plt.plot(rich_x,A_rich.dot(Solver(rich_x)))情节很好。 你得到的噪音是由于inperpolated U_rich和真正的解决方案之间的差异： U_rich-Solver(rich_x) 。

评论3：

我不认为你的代码有问题。 问题在于您可以通过这种方式测试插值。 我对FE理论很生疏，但我认为你需要使用形状函数进行插值，而不是简单的线性函数。

评论4：

直觉上， A_rich.dot(U_rich)你在问，什么样的强迫F会产生U_rich 。 与Solver(rich_x)相比， U_rich具有平坦的斑点，其值小于真实解决方案的区域。 F会产生什么？ 一个尖尖的， NodalQuadrature(x)在x点，但在两者之间接近零值。 这就是你的情节所显示的。

更高阶的插值将消除平点，并产生更平滑的反向计算F 但你真的需要重新审视有限元理论。

你可能会发现看起来很有启发性

plt.plot(x,NodalQuadrature(x))
plt.plot(rich_x, NodalQuadrature(rich_x))

第二个图更顺畅，但只有约1/5的高度。

更好的是看：

plt.plot(rich_x,AUrich,'-*')  # the spikes
plt.plot(x,NodalQuadrature(x),'o')  # original forcing
plt.plot(rich_x, NodalQuadrature(rich_x),'+') # new forcing

在模型中，强制不是连续的，它是每个节点的值。 随着更多节点（ rich_x ），每个节点的幅度更小。