如何找到经验累积密度函数（ECDF）的分位数

Question

我使用ecdf()函数来计算一些随机样本的经验累积密度函数（ECDF）：

set.seed(0)
X = rnorm(100)
P = ecdf(X)

现在P给ECDF，我们可以绘制它：

plot(P)
abline(h = 0.6, lty = 3)

我的问题是 ：如何找到样本值x ，使得P(x) = 0.6 ，即ECDF的0.6分位数，或ECDF与h = 0.6的交点的x坐标？

Answer 1

在下文中，我将不使用ecdf() ，因为我们自己很容易获得经验累积密度函数（ECDF）。

首先，我们按升序对样本X进行排序：

X <- sort(X)

这些样本的ECDF采用函数值：

e_cdf <- 1:length(X) / length(X)

然后我们可以通过以下方式描绘ECDF：

plot(X, e_cdf, type = "s")
abline(h = 0.6, lty = 3)

现在，我们正在寻找X的第一个值，使得P(X) >= 0.6 。 这只是：

X[which(e_cdf >= 0.6)[1]]
# [1] 0.2290196

由于我们的数据是从标准正态分布中采样的，因此理论分位数为

qnorm(0.6)
# [1] 0.2533471

所以我们的结果非常接近。

---

延期

由于CDF的逆是分位数函数 （例如， pnorm()的倒数是qnorm() ），可以将ECDF的倒数猜测为样本分位数，即，逆ecdf()是quantile() 。 这不是真的！

ECDF是阶梯/阶梯函数，它没有逆 。 如果我们围绕y = x旋转ECDF，则得到的曲线不是数学函数。 所以样本分位数与ECDF无关 。

对于n排序样本， 样本分位数函数实际上是 (x, y) 的线性插值函数 ，其中：

• x值为seq(0, 1, length = n) ;
• y值是分类样本。

我们可以通过以下方式定义我们自己的样本分位数函数 ：

my_quantile <- function(x, prob) {
  if (is.unsorted(x)) x <- sort(x)
  n <- length(x)
  approx(seq(0, 1, length = n), x, prob)$y
  }

我们来测试一下：

my_quantile(x, 0.6)
# [1] 0.2343171

quantile(x, prob = 0.6, names = FALSE)
# [1] 0.2343171

请注意，结果与我们从X[which(e_cdf >= 0.6)[1]]得到的结果不同。

出于这个原因，我拒绝在我的回答中使用quantile() 。