什么是斯坦因算法的最坏情况输入？

Question

我正在尝试为Stein的算法（二进制GCD算法）提出递归关系，但是我追踪它的能力证明不是最易于划分的。

我完全被多路径和递归调用所困扰，以及我们处理总位来表示我们的值而不是值本身的事实。

这是算法：

stein(u, v):
    if either of u or v are 0: return their sum.
    if either of u or v are 1: return 1.
    if both u and v are even: return 2 * stein(u/2, v/2)
    if u is even and v is odd: return stein(u/2, v)
    if u is odd and v is even: return stein(u, v/2)
    if both u and v are odd: return stein(larger-smaller/2, smaller)

我试图找到递归关系T（n），其中n是表示u和v所需的总位数。我认为这里的第一步应该是在出现最坏情况时的性能。

我认为每个除法运算都会将位数减少1，但这是我迄今为止所理解的最多。

我试过跟踪算法，但无济于事。 我还阅读了Knuth Vol的相关部分。 2但我认为这有点超出我理解的范围，因为它对我来说没什么意义。

Answer 1

你想要一个表示u和v中位数的递归关系，而不是stein（u，v）的值，所以让我们通过一点来推理它。
给定任意u和v，最好和最坏的情况是什么？

最好的情况（我们快速完成）：其中一个恒定时间案例。

最坏情况：递归调用斯坦（u / 2，v / 2），斯坦因（u，v / 2）或斯坦因（较大 - 较小/ 2，较小）

• 在第一个场景中，我们将值减半，这将简单地删除两个二进制数字。 这需要我们一次操作。 T（n）= T（n-2）+ 1

• 在第二种情况下，我们只划分其中一个值，因此只比我们开始时少一位数。 这需要一次手术。 T（n）= T（n-1）+ 1

• 第三种情况变得更加丑陋。 减法迭代n中的所有数字。 这意味着如果我们丢失了m个数字，但是使用了n个步骤（减法），我们的重复是T（n）> = T（nm）+ n。 我们仍然必须找到m，如果我们能证明这一步消除了许多数字（例如：m = n / 2），则重现可能不会太慢​​。
  不幸的是，我们很容易想出一个非常糟糕的情况。
  将v设置为3.这可以确保它是奇数，并且它将始终是两者中较小的一个。 现在，如果我们设置u使得（uv）/ 2继续变为奇数，则重复将继续进行第三种情况。 并且当v = 3时，（uv）/ 2将仅比u短1位。 这意味着在最坏的情况下，m是1. ==> T（n）= T（n-1）+ n

这种不良情景的例子：（21,3） - >（9,3） - >（3,3）我们可以通过取v'= v * 2 + 3来继续构造更大的数字。如你所见，增长这些“坏”数字一次只是一个二进制数字，并将导致我们始终沿着第三条路走下去。 这就是m为1的原因。

不幸的是，最后一次复发的情况是O（n * n）

Answer 2

您正在寻找依赖于以尽可能大的子问题大小（相对于问题大小）递归地评估函数的规则。 有两个规则需要解决一个较少位的子问题：处理u或v中只有一个是奇数的情况的规则。 奇数不会改变，偶数应该尽可能长。 这表明以下是最坏的情况：（1）不作为基本情况处理的最小奇数（2）自由增长2的幂。即，对于某些n ，取u = 3且v=2^n n 。 在这种情况下， stein因的输入时间是线性的。