numpy的“矢量化”行式点积的运行速度比for循环慢

Question

给定形状为（n，k）的矩阵A和大小为n的向量s ，我要计算形状为（k，k）的矩阵G ，如下所示：

G + = s [i] * A [i] .T * A [i] ，对于{0，...，n-1}中的所有i

我尝试使用for循环（ 方法1 ）和矢量化方式（ 方法2 ）来实现这一点，但是对于较大的k值（尤其是k> 500 ），for循环的实现更快。

该代码编写如下：

import numpy as np
k = 200
n = 50000
A = np.random.randint(0, 1000, (n,k)) # generates random data for the matrix A (n,k)
G1 = np.zeros((k,k)) # initialize G1 as a (k,k) matrix
s = np.random.randint(0, 1000, n) * 1.0 # initialize a random vector of size n

# METHOD 1
for i in xrange(n):
    G1 += s[i] * np.dot(np.array([A[i]]).T, np.array([A[i]]))

# METHOD 2
G2 = np.dot(A[:,np.newaxis].T, s[:,np.newaxis]*A)
G2 = np.squeeze(G2) # reduces dimension from (k,1,k) to (k,k)

矩阵G1和G2相同（它们是矩阵G ），唯一的区别是它们的计算方式。 有没有更聪明，更有效的方法来计算？

最后，这是我获得k和n随机大小的时间：

Test #: 1
k,n: (866, 45761)
Method1: 337.457569838s
Method2: 386.290487051s
--------------------
Test #: 2
k,n: (690, 48011)
Method1: 152.999140978s
Method2: 226.080267191s
--------------------
Test #: 3
k,n: (390, 5317)
Method1: 5.28722500801s
Method2: 4.86999702454s
--------------------
Test #: 4
k,n: (222, 5009)
Method1: 1.73456382751s
Method2: 0.929286956787s
--------------------
Test #: 5
k,n: (915, 16561)
Method1: 101.782826185s
Method2: 159.167108059s
--------------------
Test #: 6
k,n: (130, 11283)
Method1: 1.53138184547s
Method2: 0.64450097084s
--------------------
Test #: 7
k,n: (57, 37863)
Method1: 1.44776391983s
Method2: 0.494270086288s
--------------------
Test #: 8
k,n: (110, 34599)
Method1: 3.51851701736s
Method2: 1.61688089371s

Answer 1

还有两个改进的版本是-

(A.T*s).dot(A)
(A.T).dot(A*s[:,None])

与method2 ：

使用method2 ，我们将创建A[:,np.newaxis].T ，其形状为(k,1,n) ，即3D数组。 我认为使用3D数组时， np.dot会进入某种循环，并且没有真正向量化（源代码可以在此处显示更多信息）。

对于此类3D张量乘法，最好使用张量等效项： np.tensordot 。 因此， method2的改进版本变为：

G2 = np.tensordot(A[:,np.newaxis].T, s[:,np.newaxis]*A, axes=((2),(0)))
G2 = np.squeeze(G2)

因为，我们使用np.tensordot从每个输入中仅sum-reducing一个轴的np.tensordot ，所以我们在这里实际上并不需要tensordot ，而仅在squeezed-in版本中使用np.dot就足够了。 这将使我们回到method4 。

运行时测试

方法-

def method1(A, s):
    G1 = np.zeros((k,k)) # initialize G1 as a (k,k) matrix
    for i in xrange(n):
        G1 += s[i] * np.dot(np.array([A[i]]).T, np.array([A[i]]))
    return G1

def method2(A, s):
    G2 = np.dot(A[:,np.newaxis].T, s[:,np.newaxis]*A)
    G2 = np.squeeze(G2) # reduces dimension from (k,1,k) to (k,k)
    return G2

def method3(A, s):
    return (A.T*s).dot(A)

def method4(A, s):
    return (A.T).dot(A*s[:,None])

def method2_improved(A, s):
    G2 = np.tensordot(A[:,np.newaxis].T, s[:,np.newaxis]*A, axes=((2),(0)))
    G2 = np.squeeze(G2)
    return G2

时间和验证-

In [56]: k = 200
    ...: n = 5000
    ...: A = np.random.randint(0, 1000, (n,k))
    ...: s = np.random.randint(0, 1000, n) * 1.0
    ...: 

In [72]: print np.allclose(method1(A, s), method2(A, s))
    ...: print np.allclose(method1(A, s), method3(A, s))
    ...: print np.allclose(method1(A, s), method4(A, s))
    ...: print np.allclose(method1(A, s), method2_improved(A, s))
    ...: 
True
True
True
True

In [73]: %timeit method1(A, s)
    ...: %timeit method2(A, s)
    ...: %timeit method3(A, s)
    ...: %timeit method4(A, s)
    ...: %timeit method2_improved(A, s)
    ...: 
1 loops, best of 3: 1.12 s per loop
1 loops, best of 3: 693 ms per loop
100 loops, best of 3: 8.12 ms per loop
100 loops, best of 3: 8.17 ms per loop
100 loops, best of 3: 8.28 ms per loop